Zeige, dass diese Funktion ein Skalarprodukt darstellt.

Question

Aufgabe:

Wir definieren Folgendes: $$<. , .>: \mathbb{C}^{n \times n} \times \mathbb{C}^{n \times n} → \mathbb{C} mit <A,B> := Trace(AB^{*}) $$.

Zeige, dass diese Funktion ein Skalarprodukt darstellt.

Problem/Ansatz:

Ich komme schon nicht mal damit zurecht zu zeigen, dass <A,A> > 0 ist.

Denn \(<A,A>= \sum_{i=1}^n a_{ii}*a_{ii}^*\). Also muss ich zeigen, dass jeder Diagonaleintrag \( a_{ii} \) multipliziert mit ihrer komplex konjuzgierten Zahl \( a_{ii}^* \) stehts größer als Null ist, aber das ist doch nicht für jede komplexe Zahl so, oder?

Answer 1

Komplexe Zahl z = a+bi

konjugierte            a-bi

Multipliziert (a+bi)*(a-bi) = a^2 + b^2 .

Die Summe zweier Quadrate ist nie negativ !

Comments

Stimmt, danke!

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Könntest du mir helfen, bei der Symmetrie?

Also \( <A,B>=<B,A> \) - das bedeutet ich muss irgendwie folgendermaßen umformen: $$ <A,B> = Tr(AB^*) = \sum_{i=1}^n a_{ii}*b_{ii}^* = \sum_{i=1}^n b_{ii}*a_{ii}^* = <B,A>$$ aber ist diese Umformung korrekt? Darf man einfach die Plätze tauschen und die andere komplexe Zahl komplex konjugieren?

EDIT: Ich habe das mal exemplarisch nachgerechnet für zwei komplexe Zahlen und es würde eine Vorzeichenänderung stattfinden bei einigen Termen nach der Multiplikation, also stimmt die Umformung oben irgendwie nicht ganz. Wie zeige ich die Symmetrie?

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Du musst noch bedenken, dass man bei komplexen Skalarprodukten

nicht nur tauschen, sondern auch konjugieren muss.

Dann passt es.

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Ach so, also \( \sum_{i=1}^n a_{ii}*b_{ii}^* = \sum_{i=1}^n b_{ii}^{**} *a_{ii}^* = \sum_{i=1}^n b_{ii}^{} *a_{ii}^* \). Irgendwie klappt es nicht. Könntest du eventuell, die Schritte von mir bearbeiten, sodass etwas Sinnvolles rauskommt? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...