Wurzelgleichung: Wurzel(x+3) + Wurzel (2x-3) = 6

Question

$$ \sqrt { x + 3 } + \sqrt { 2 x - 3 } = 6 $$

Wie kommt man auf x=6?

Answer 1

√(x+3) +√ (2x-3) = 6                 |-√(x+3)
 

√ (2x-3) = 6    - √(x+3)           |^2          

 Auf der rechten Seite binomische Formel nicht vergessen

2x-3 = 36 - 2*6√(x+3) + (x+3)              |Sortieren (Wurzel isolieren)

12√(x+3) = 42 - x                    |^2

144(x+3) = 42^2 - 84x + x^2

0 = x^2 - 228x -1332
x= 0.5 (228 ± √(228^2 - 5328)) = 0.5(228 ± 216)

x₁ =222

x₂= 6

Probe: mit x₁ = 222: 

√225 + √441 = 15 + 21 = 36 ≠6 Scheinlösung. ist beim Quadrieren reingekommen und falsch.

mit x₂ = 6: √9 + √9 = 3 + 1 = 6 Stimmt.

Einziges Resultat: x=6

Answer 2

Forme um, dass jeweils eine Wurzel auf einer Seite der Gleichung steht.

$$ \sqrt { x+3 } = 6 - \sqrt{2x-3} $$

Jetzt das ganze quadrieren, damit fällt eine Wurzel schonmal weg.

$$ x + 3 = (6 - \sqrt{2x-3})^2 $$

Jetzt kannst du auf der rechten Seite die 2te binomische Formel anwenden, dann isolierst du wieder eine Wurzel auf eine Seite und quadrierst erneut, um die Wurzel zu eliminieren. Dann kannst du nach x umformen.

Comments

Wenn ich das so mache kommt bei mir folgendes raus: 

x + 3 = 36 - 2*6*√(2x-3) + (2x-3)                     -33 - 2x und mit  -1 multipliziert

x - 30 = 12*√(2x-3)                                   durch 12 dividiert

(1/12)*x + 2,5 = √(2x-3)                           dann quadriere ich wieder

((1/12)*x + 2,5)² = 2x-3                                binomische Formel

(1/144)*x² + (5/12)x + 6,25 = 2x - 3                      mit 144 multiplizieren

x² + 60x + 900 = 288x - 432                                 - 900 - 288x und quadratische Ergänzung

x² - 228x + (114)² = - 1164                             man kann ja hier keine Wurzel ziehen

 

 

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Ich habe jetzt nicht alles überprüft, aber beim letzten Schritt musst du noch umwandeln in (x - 114)^2, dafür hast du ja die quadratische Ergänzung gemacht.

 

also

x^2 - 228x + 114^2 = -1164

(x-114)^2 = -1164 | +- sqrt

x - 114 = +- sqrt(-1164) -> Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht erlaubt in den reellen Zahlen -> keine Lösung