Wurzelgleichung 1+sqrt(2-x) = 2x+2 Lösungen bestimmen

Question

Ich soll alle reellen Lösungen der Wurzelgleichung bestimmen.

$$1+\sqrt{2-x} = 2x + 2$$

Meine Rechnung:

$$1+\sqrt{2-x} = 2x + 2 \quad | ()^{2} \\ 1^{2} + 2-x = (2x+2)^{2} \text{     | binomische Formel } \\ 3-x = 2x^{2}+2(2x+2)+4 \text{     |+x |-4 } \\ 3-4 = 2x^{2}+5x \text{     |-4 } \\ -5 = 2x^{2}+5x \text{     |+5 } \\ 0 = 2x^{2}+5x+5 \\ x * (2x+5)+5 = 0 $$

x1=0

2x+10 = 0
2x = -10
x = -5

x2=-5

Wenn ich aber die Gleichung mit den Ergebnissen überprüfe kommt nicht das selbe heraus.

Comments

O je, die linke Seite hat keine binomische Formel verdient... und die rechte Seite ist völlig verunglückt...

wie wäre es den mit "... = ... | -1" als erstem Schritt?

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Von Zeile 1 auf Zeile 2: Ist wirklich \( (a + b)^2 = a^2 + b^2 \)?

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@iWilli

a^2+2ab+b^2

-> 2x^2 + 2*2x*2 + 2^2

-> 2x^2 + 8x + 4

All das ist aber irrelevant da ich die -1 nicht herübergezogen habe

Answer 1

Bereits im ersten Umformungsschritt (den du auch noch mit "binomische Formel" gekennzeichnet hast), hast du linkst die Anwendung der binomischen Formel vergessen. Wo bleibt das doppelte Produkt?

Es ist aber sowieso völlig ungeschickt - du hättest vorher auf beiden Seiten erst mal 1 subtrahieren sollen.

Comments

Ja, bin ein Mathe Noob. So habe weiter ausgerechnet:

1+sqrt(2-x) = 2x+2         |-1

sqrt(2-x) = 2x+1             | ()^2

2-x = (2x+1)^2        

2-x = 2x^2 + 2*2x*1 + 1^2

2-x = 2x^2 + 4x + 1        |-2

-x = 2x^2 + 4x - 1           | +x

0 = 2x^2 + 5x -1             | :2

0 = x^2 + 2.5x - 0.5        | pq

-2.5/2 +- sqrt((2.5/2)^2 + 0.5)

x1 = 0.186

x2 = -2.686

Answer 2

\(1+\sqrt{2-x} = 2x + 2 \quad | ()^{2} \)

Dadruch bekommst du

\((1+\sqrt{2-x})^2 = (2x + 2)^2\)

Auf der rechten Seite hast du mit binomsicher Formel ausmultipliziert. Der Term auf der linken Seite verlangt aber auch nach der binomischen Formel. Und das bringt dich nicht so richtig weiter.

Subtrahiere stattdessen erst ein mal 1, so dass auf der linken Seite nur noch die Wurzel steht. Erst dann ist Quadrieren sinnvoll.

Comments

Stimmt, dann würde auch durch das Quadrieren die Wurzel wegfallen und man bräuchte nur auf der rechten Seite die binomische Formel anzuwenden, korrekt?

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Stimmt. Aber das Wort "auch" passt da nicht so ganz. Zu dem Zeitpunkt, zu dem du quadriert hast, fällt die Wurzel nicht weg, weil sie nach Ausmultplizieren mit binomischer Formel noch im 2ab-Term vorhanden ist.

Answer 3

$$1+\sqrt{2-x} = 2x + 2 ~~~~~~~~~~~~\text{    | -1}$$

$$1+\sqrt{2-x} = 2x + 2 \quad | ()^{2} $$

$$2-x=4x^2+4x+1$$

$$0=4x^2+5x-1$$

$$0=x^2+1,25x-0,25$$

$$x_{12}=-\frac{5}{8}\pm\sqrt{\frac{25}{64}+\frac{1}{4}}=-\frac{5}{8}\pm\sqrt{\frac{25}{64}+\frac{16}{64}}=-\frac{5}{8}\pm\sqrt{\frac{41}{64}}=\frac{-5\pm\sqrt{41}}{8}$$

$$ x_1\approx0.17539~~~~~;~~~~~x_2\approx-1.42539 $$

Die Probe ist bei Wurzelgleichungen immer wichtig.

\(x_1\) ist eine Lösung, \(x_2\) aber nicht!

$$ \mathbb L=\left\{\frac{-5+\sqrt{41}}{8}\right\}$$