Delisches Problem nicht lösbar?

Question

Aufgabe:

"Delisches Problem" /Volumen-Verdoppelung eines Quaders/Würfels

Problem/Ansatz:  WIKIPEDIA: „Die Würfelverdoppelung, auch bekannt als Delisches Problem, bezeichnet die geometrische Aufgabe, zu einem gegebenen Würfel einen zweiten Würfel mit dem doppelten Volumen zu konstruieren.       ..  Würfelverdoppelung ausschließlich mit den Hilfsmitteln zu bearbeiten, die Euklid in seinen Elementen nutzte, nämlich mit Zirkel und unmarkiertem Lineal, ist es nicht lösbar. Diese Aussage lässt sich in die Fachsprache der Algebra übersetzen, wodurch schließlich ein mathematischer Beweis für die Unmöglichkeit der Konstruktion angegeben werden kann.“

Doch die Lösung ist relativ schlicht:

die Seitenlänge/Kantenlänge des Volumen-verdoppelten Quaders stellt sich als Diagonale (Kantenlänge 1 * √2) in jeder der sechs Flächen (= Quadrate) des Ausgangs-Quaders dar.
Volumen-Verdoppelg. eines Quaders/Würfels ;
(hier) SL./KL. 123³  = 1.860.867 = Volumen von Quader. 1 ,             123 *  √2 = 173,9482682.. ,   173,9482682..³ = 5.263.326,699.. = verdoppeltes Quader-Volumen (2) .                                             3.√5.263.326,699.. =  173,9482682.. , = SL./Kantenlänge des Volumen-verdoppelten Quaders (2) .

Okay ?

Comments

5,26·10⁶ ist nicht das Doppelte von 1,86·10⁶.

Ich wäre immer vorsichtig, wenn ich eine scheinbare Lösung für ein Problem finde, mit dem sich viele Mathematiker schwer beschäftigen.

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Ooh - da sind zwei Sachen (grob fahrlässig) übereinander geraten.

Hallo Karl60 ;

Erst einmal Kommando zurück -

und Dank und Gruß !   geomane

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Das größte Problem ist vermutlich das Leseverstehen.

Wer Konstruieren nicht von Rechnen unterscheiden kann, wird sich vermutlich auch schwer tun, da einen Unterschied festzustellen.

Auch wenn ich von einem Würfel mit der Kantenlänge 1, die Kantenlänge eines Würfels mit dem doppelten Volumen berechnen kann, ist noch lange nicht gesagt, dass ich diese Länge auch konstruieren kann.

Die Kantenlänge ist wie bei Wikipedia nachzulesen ist \( \sqrt[3]{2} = 1.259921... \)

Diese kann als Grenzwert geeigneter Folgen bestimmt werden, ist jedoch aus den Strecken 0 und 1 über Zirkel und Lineal nicht in endlich vielen Schritten konstruierbar.

https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%BCrfelverdoppelung

Dort steht übrigens auch: "Nimmt man zu den klassischen (euklidischen) Werkzeugen Zirkel und unmarkiertes Lineal ein weiteres mechanisches Hilfsmittel, wie zum Beispiel ein spezielles mechanisches Werkzeug oder ein entsprechend markiertes Lineal, so kann die zur Würfelverdoppelung erforderliche Kantenlänge des Würfels theoretisch exakt dargestellt werden."

Ich halte fest. Ein intaktes Leseverständnis hilft Probleme in der Kommunikation zu vermeiden, wenn alle Kommunikationspartner sich klar ausdrücken können und alle die anderen verstehen können.

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".. wenn alle Kommunikationspartner sich klar ausdrücken können und alle die anderen verstehen können."

Ja ! Allerdings ist meine geometrische Schrittfolge nicht "klarer ausdrückbar".                                                         Ich vermute deshalb immer noch, dass "nicht sein kann, was nicht sein darf"  sich in diesem Fall ganz besonders als eine Art natürliche "Wegfahrsperre" für eine besonders aufgeschlossene Interpretationssuche auswirkt.

Mein Weg u.a. über das Wunschergebnis 2.000.000 ist ein anderer, aber nicht falsch.

Wenn es dir recht ist , lassen wir das beide erst einmal so stehen.                                                                     Wenn es euch lieber ist, könnt ihr diesen Chat zu diesem Thema auch löschen.

Und Dank und Gruß !  geomane

Answer 1

Was möchtest du uns sagen? Dass deine Äußerungen gegen den "Beweis der Unmöglichkeit der Konstruktion" sprechen?

Du weißt was ein Beweis ist und du weißt, was eine Konstruktion im Sinne von Euklid ist oder?

Um das Volumen eines Würfels zu verdoppeln, müsste man übrigens jede Kantenlänge mit dem Faktor \( \sqrt[3]{2} \approx 1.260 \) multiplizieren.

Comments

Mi., 13.Dez.2023 ;
Volumen-Verdoppelung eines Kubus'/Quaders / zurück zum Anfang   - meine Handskizze mit Ausgangs-Quadrat, Seitenlängen(= Quader-Kantenlängen) je 50 Längeneinheiten;
Verlängerung der unteren, waagerechten Seitenlänge nach rechts um 90 Längeneinheiten , Gesamtlänge nun 140 .                                             Diese Länge 140  bildet den längeren Schenkel eines rechtwinkeligen Dreiecks.                                Auf das rechte Ende dieser Verlängerung ist eine senkrechte (90°) Gerade mit Länge √2 * (SL.) 50 (= 70,71067812..) zu stellen (= zweiter, kürzerer Schenkel des rechtwinkeligen Dreiecks).                                  Die Hypotenuse ergibt nun mit Hilfe von „Pythagoras“ die Länge 154,8354304.. , und 154,8354304..³ = 3.712.026,235 .. ;  ³√ = 154.8354304.. = Seitenlänge/Kantenlänge des Volumen-verdoppelten Quaders .
Okay ?

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Menschsch.. , immer noch falsch (Dopp. Vol. hier = 250.000).

(warum sehe ich den Fehler immer erst nach "Absenden" ?!)

Mit der Bitte um Nachsicht.

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meine Handskizze mit Ausgangs-Quadrat, Seitenlängen(= Quader-Kantenlängen) je 50 Längeneinheiten; ... usw.

Okay ?

Nein - nicht okay! dies habe ich zwar auch raus$$\sqrt{140^2 + 2\cdot 50^2} = 10\sqrt{246}\approx 156,8$$aber was hat das mit der Verdoppelung des Volumens eines Würfels mit einer Kantenlänge von 50 zu tun?$$\left(10\sqrt{246}\right)^3 \approx 3.860.000 \ne 2\cdot 50^2 = 250.000$$

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Mannn - super !        ".. Nein - nicht okay!"

Hallo Karl60 (?);

Ja ..    Dank für deinen Mit-Einstieg !

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Do., 14.Dez.2023 ;                                                    Geometrische Volumen-Verdoppelung eines Kubus'/Quaders .
Folgende Methode lag schon einmal auf dem Tisch, wurde aber nicht gespeichert, weil sie nur bei Quader-Kantenlänge 100 funktioniert:
Ausgangs-Kubus/-Quader(1) mit Seitenlänge (SL.) /Kantenlänge(KL.)von 100 Maßeinheiten ,                 100² = 10.000  = Fläche jedes der 6 Seiten des Quaders ,                                                        10.000 * 100  = 1000.000  = Volumen des Ausgangs-Quaders ;                                    1.000.000 * 2 = 2.000.000  = doppeltes Volumen des Ausgangs-Quaders .
Geometrische Darstellung des Quaders(2) mit dem doppelten Volumen:           Seitenlänge/Kantenlänge 100 * √100 * √2 = 1.414,213562.. = Fläche jedes der 6 Seiten des Quaders mit dem doppelten Volumen des Ausgangs-Quaders;                                                    1.414,213562..² =  2.000.000  = doppeltes Volumen des Ausgangs-Quaders .
Geometrisch/gezeichnet kann die Figuration als Schablone für Ausgangs-Quader mit anderen Maßen verwendet werden.

So weit so gut.

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Was soll den ... heißen, damit 1.414,213562...² =  2.000.000 eine wahre Aussage ist?

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1.414,213562..² =  2.000.000  = doppeltes Volumen des Ausgangs-Quaders .

Das Volumen ist Kantenlänge hoch drei und nicht Fläche zum Quadrat.

Seitenlänge/Kantenlänge 100 * √100 * √2 = 1.414,213562.. = Fläche jedes der 6 Seiten des Quaders mit dem doppelten Volumen des Ausgangs-Quaders;

Länge ist nicht dasselbe wie Fläche. Und wenn \(100 \cdot \sqrt{100} \cdot\sqrt{2}\) die Fläche einer der Würfelseiten sein soll, so ist die dazugehörige Kantenlänge \(a_2\) $$a_2 = \sqrt{100 \cdot \sqrt{100} \cdot\sqrt{2}} = 10\sqrt{10\sqrt{2}} \approx 37,6$$Und das Volumen \(V_2\) des Würfels wäre$$V_2 = a_2^3 = \left(10\sqrt{10\sqrt{2}}\right)^3 \approx 53.200 \ne 2.000.000$$

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Folgende Methode lag schon einmal auf dem Tisch, wurde aber nicht gespeichert, weil sie nur bei Quader-Kantenlänge 100 funktioniert:

Heißt doch umgekehrt, dass sie praktisch nie funktioniert.

Tipp: lass die großen Zahlen sein. Wähle für den Originalwürfel die Länge \(a_1=1\). Das Volumen \(V_1\) ist dann \(V_1=1\) und das Volumen des doppelt so großen Würfels ist dann \(V_2=2\). Und wenn Du mit irgend einem tollen Algorithmus die Seitenlänge \(a_2\) des zweiten Würfels heraus bekommst, so muss gelten$$1,25 \lt a_2 \lt 1,26$$

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".. 1,25 <a 2 <1,26 "
Hallo  Werner-Salomon;

kann ich (noch) nicht folgen.

Dank - und Gruß !   geomane

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Hallo Roland;

".. damit 1.414,213562...² =  2.000.000 eine wahre Aussage ist "

diese Passage habe ich nirgends gefunden /missverstanden ?

Gruß !  geomane

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".. 1,25 <a 2 <1,26 "
Hallo Werner-Salomon;

kann ich (noch) nicht folgen.

Dank - und Gruß ! geomane

Echt nicht?

Nimm dir einen Taschenrechner aus den 1€-Laden und berechne

1,25^3=1,953125

und

1,26^3=2,000376.

Du scheiterst am Verständnis dieser simplen Tatsache und maßt dir gleichzeitig an, die (nachgewiesenermaßen) Unmöglichkeit der Konstruktion von \( \sqrt[3]{2} \) mit Zirkel und Lineal widerlegen zu können?

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geomane: Ich hatte gefragt:

Was soll denn ... heißen, damit 1.414,213562...² =  2.000.000 eine wahre Aussage ist?

1.414,213562...² =  2.000.000 hattest du in deinem Kommentar direkt darüber geschrieben. Beantwortet hast du meine Frage bisher nicht.

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".. 1,25 <a 2 <1,26 "
Hallo Werner-Salomon;
kann ich (noch) nicht folgen

Hammerhart! ... heißt, Du hast die Fragestellung des Delischen Problems gar nicht verstanden.

Hinweis: da gibt's einen Wikipedia-Artikel, lies den erstmal in Ruhe durch. Und ... ich zitiere:

"Die neue Kantenlänge \(x\) ist die Kubikwurzel aus \(2\), also \(\sqrt[3]{2} = 1,259921\ldots\)"

und diese Zahl liegt im Intervall \((1,25 \dots 1,26)\) (s.o.).

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".. Unmöglichkeit der Konstruktion von  ³√2 mit Zirkel und Lineal widerlegen zu können?

Hallo abakus ;

zu kurz gesprungen: Es wird nur zweidimensional gezeichnet , und dann eine andere Anwendung bemüht.

Aber in gewisser Hinsicht hast du schon recht:      Ich bin als langjähriger Bauzeichner schon so etwas wie ein Fachidiot:

Idiot → WIKIPEDIA: „.. Das Wort leitet sich von   altgriechisch ἰδιώτης idiotes ab, das in etwa „Privatperson“ bedeutet. Es bezeichnete in der Polis Personen, die sich aus öffentlichen politischen Angelegenheiten heraushielten …“
 - heraushalten sollte (?).

Und Gruß !    geomane

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Hallo Werner-Salomon;

wo siehst du hier in der Methode/Berechnung       ".. ³√2 " ?

Freilich kann man nach Erreichen des Ergebnisses mit z.B.  ³√2.000.000 Probe-rechnen .

Gruß !  geomane

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geomane: Noch einmal

Was sollen die drei Pünktchen (...) bedeuten, damit 1.414,213562...² =  2.000.000 eine wahre Aussage ist?

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Freilich kann man nach Erreichen des Ergebnisses mit z.B. ³√2.000.000 Probe-rechnen.

Das ist ein Fall für Chuck Norris, der es bisher als einziger Mensch geschafft hat, zweimal bis unendlich zu zählen.

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".. (...) bedeuten, damit 1.414,213562...² =  2.000.000 eine wahre Aussage ist?

Jaa, alles klar.  Die drei Pünktchen sollen bedeuten, dass noch viele Stellen nach dem Komma folgen.

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Hallo Der_Mathecoach ;

Schade, dass alle Kommentare schwer mit dem Gedanken belastet sind, dass nicht sein kann was nicht sein darf.                                                             Sehr wohl muss/kann ein vernünftiger Mensch das nicht gleich glauben, wenn ein quer eingestiegener Wichtigtuer etwas vorstellt, von dem das Gegenteil durch reputierte Mathematiker längst bewiesen wurde.                                                   Bei rein wissenschaftlichem Interesse könnten Fragen an mich hier z.B. lauten:                         Gab es am Beginn deiner Studien irgendwelche Trigger oder Auslöser zu dem Thema "Verdoppelung eines Kubus' , die dich als erst einmal mutmaßlich ebenso vernünftigen Zeitgenossen veranlasst haben, das Thema aufzugreifen, und die den geneigten Lesern deiner (meiner) "Botschaft" die Chance geben, bei Interesse nicht ihr Gesicht zu verlieren?

Und Gruß !  geomane

P.s.: Der Auslöser, auf dieses und ähnliche mathematische Probleme einzugehen, war die Entdeckung der einzigen geometrischen  Konfiguration, die drei Potenzen in Zahlen ohne Knick darstellt.  Und das ist eben 10/100/1000 . CAD-Zeichnen geht z.Zt. nicht.

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Geomane: Ich finde zwei der Passagen aus deinem letzten Kommentar sehr aufschlussreich:

1. ein quer eingestiegener Wichtigtuer Meinst du dich selbst?

2. etwas vorstellt, von dem das Gegenteil durch reputierte Mathematiker längst bewiesen wurde. Erkennst du den Gegenbeweis an oder möchtest du ihn widerlegen?

Interessant ist auch, dass du die Aussage: 1.414,213562...² =  2.000.000 für eine wahre Aussage hältst, obwohl du von den Pünktchen ... nur weißt, dass noch viele Stellen nach dem Komma folgen.

Die rot geschriebenen Passagen sind aus deinen Texten kopiert.

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wo siehst du hier in der Methode/Berechnung     ".. ³√2 " ?

ich sehe das in der Überschrift Deiner Frage. Da steht "Delisches Problem nicht lösbar?".

Das delische Problem besteht darin, die Kantenlänge eines Würfels zu konstruieren, dessen Volumen doppelt so groß ist wie das eines anderen vorgegebenen Würfels. Das ist gleichbedeutend/identisch mit der Konstruktion eines Längenverhältnisses von $$1 \div \sqrt[3]{2}$$was denkst Du was das delische Problem ist?

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Guten Morgen Werner,

der Teilnehmer 'geomane' kennt offenbar zu wenig Mathematik, um sich mit derartigen Problemen der Mathematik zu beschäftigen. Natürlich sollte man ihn trotzdem ernst nehmen. Das Problem ist dann, dass geomane Fragen nicht beantwortet, unsinnige Gegenfragen stellt oder auf andere Weise ein sehr tiefes Unverständnis dokumentiert. Ich gebe an dieser Stelle auf (auch um geomane nicht zu quälen).

Gruß Roland

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Hallo Roland und Werner ;

alles "ja.." ;
meine Illusion(?) ist, dass der Durchmesser eines Kreises genau der Π-te Teil ist , auch ohne dass man Pi zu Ende rechnen kann , und umgekehrt.
Meine Illusion(?) ist , dass bei einem rechtwinkeligen, gleichschenkeligen Dreieck die Hypotenuse genau die Länge eines der Schenkel   * Ѵ2 anzeigt, ohne dass man Ѵ2 zu Ende rechnen kann , und umgekehrt.
Meine Illusion(?) ist, dass – wie hier – man die gezeichnete (z.B.) Hypotenuse mit der Länge      Ѵ2 * 1000 - = 1414,2... geometrisch/zeichnerisch voll als 2. Potenz dieses Wertes darstellen kann, obwohl man diese Prozedur nicht zu Ende rechnen kann.

Großen Dank, dass ihr nochmal reagiert habt !

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.. geometrisch/zeichnerisch voll als 2. Potenz dieses Wertes ...

welchen Wert meinst Du mit 'dieses Wertes'?

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".. dieses Wertes" -> 1414,213562... (gezeichnet).

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".. dieses Wertes" -> 1414,213562... (gezeichnet)

Dann hieße folgender Satz von Dir (s.o.)

... man die gezeichnete (z.B.) Hypotenuse mit der Länge     Ѵ2 * 1000 - = 1414,2... geometrisch/zeichnerisch voll als 2. Potenz dieses Wertes darstellen kann

... man die ... Hypotenuse mit der Länge \(\approx 1414,2\) ... als 2. Potenz von \(\approx 1414,2\) darstellen kann.
Hast Du das so gemeint? Kann doch nicht sein - oder? eine Zahl (außer der 1) ist doch nicht gleichzeitig 2. Potenz von sich selbst. Abgesehen davon ist die 2.Potenz von einer Länge eine Fläche und keine Länge.

Und - was hat \(\sqrt{2}\cdot 1000\) mit dem delischen Problem zu tun?

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Im Geomanischen Körper \(\mathbb{G}_{\infty}\) sind die mathematischen Gesetze außer Kraft gesetzt. Es gilt \(\pi=3{,}\sqrt{2}+\varepsilon\), wobei man \(\varepsilon\) mit Hilfe von Primzahlen berechnen kann, die eigentlich keine sind. Des Weiteren lässt sich jede Geomanische Zahl (als Teilmenge aller existierenden Zahlen und sogar Zahlen, die es gar nicht gibt) mit einer Berechnung konstruieren. Außer die Zahl 0. Die ist nämlich einfach 0 und wie will man 0=Nichts bitte konstruieren!?

Also wirklich, das weiß doch jedes Kind!

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".. eine Zahl (außer der 1) ist doch nicht     gleichzeitig 2."                                                             " Es gilt \(\pi=3{,}\sqrt{2}+\varepsilon\), wobei man \(\varepsilon\) mit Hilfe von Primzahlen berechnen kann, die eigentlich keine sind.   ... "  

Hallo  Werner-Salomon und Apfelmännchen;

eure Statements sind wohl einzeln richtig,                 und euer Engagement ist okay.                                   Aber sie/es sind/ist nicht für meine/n Methode/Weg hier relevant.

Lieber gelegentlich, wenn ihr dann noch wollt, ein nächstes Thema !  geomane

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Gott schütze uns vor Sturm und Wind

und Themen, die von 'geomane' sind.

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Haa - wunderbar !

Hallo Roland !