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Der parabelförmige Stollen wird durch eine Parabel beschrieben:$$f(x)=-(x-8)(x+8)=-(x^2-8^2)=64-x^2\quad;\quad x\in[-8;8]$$Der Parameter \(a=8\,\mathrm{dm}\) legt dabei das Intervall \([-8;8]\) für die \(x\)-Koordinate und die Basis-Längeneinheit \(\mathrm{dm}\) für alle verwendeten Längen fest.
Wegen der Symmetrie der Parabel reicht es aus, die blaue Fläche nur im Bereich \([0;8]\) zu bestimmen und das Ergebnis am Ende zu verdoppeln. Dazu brauchen wir den Eckpunkt \(E\) rechts oben, wo da der Wasserstand die Parabel berührt. Der Wasserstand beträgt \(h=4,8\mathrm m=48\,\mathrm{dm}\). Der zugehörige \(x\)-Wert ist daher:$$f(x)=48\implies64-x^2=48\implies x^2=16\stackrel{(x\ge0)}{\implies}x=4$$Da wir nur den Teil rechts vom Nullpunkt betrachten, fällt die Lösung \((x=-4)\) weg.
Der Eckpunkt liegt daher bei \(E(4;48)\).
Der rechte Teil der blauen Flächen beträt daher:$$F_{\text{rechts}}=\underbrace{4\cdot48}_{\text{Rechteck}}+\underbrace{\int\limits_4^8f(x)\,dx}_{\text{Parabelbogen}}=192+\int\limits_4^8(64-x^2)\,dx=192+\left[64x-\frac{x^3}{3}\right]_4^8$$$$\phantom{F_{\text{rechts}}}=192+\left(\frac{1024}{3}-\frac{704}{3}\right)=192+\frac{320}{3}=\frac{896}{3}$$Die gesamte Querschnittsfläche des Wassers beträgt also:$$F=2\cdot F_{\text{rechts}}=\frac{1792}{3}\;\;\mathrm{[dm^2]}$$
Bei einer Fließgeschwindigkeit von \(v=6\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=60\,\frac{\mathrm{dm}}{\mathrm s}\) fließen daher pro Sekunde$$F\cdot v=\frac{1792}{3}\cdot60=35\,840\;\;\left[\frac{\mathrm{dm}^3}{\mathrm s}\right]$$Wasser durch den Kanal.
Das entspricht \(35,84\,\mathrm{m^3}\) Wasser pro Sekunde.
