Wieviel Kubikmeter fließen pro Sekunde durch den Stollen, wenn er bis zu einer Höhe von h=4,80 {~m} mit Wasser …

Question

Ich kommt nicht auf die Formel die ich aufstellen soll und schon gar nicht die Lösung, brauche unbedingt hilfe

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(-) Zur Trinkwasserversorgung von Durststadt wurde ein Stollen mit parabelförmigem Querschnitt von einem nahegelegenen Stausee durch den Fels geschlagen. Der Stollen lässt sich durch die Funktion $f(x)=-(x-8)(x+8)$ beschreiben (jeweils Einheit $d m$ ), siehe auch die Skizze - nicht maßstabsgetreu! - mit $a=8 d m$ ).

Durch den Stollen fließt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. Wieviel Kubikmeter fließen pro Sekunde durch den Stollen, wenn er bis zu einer Höhe von $h=4,80 \mathrm{~m}$ mit Wasser gefüllt ist? Hinweis: Sie können Ihr Endergebnis bei der Eingabe auf zwei Nachkommastellen runden.

Pro Sekunde fließen $72,39 \quad \mathrm{~m}^{3}$ Wasser durch den Stollen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der parabelförmige Stollen wird durch eine Parabel beschrieben:$$f(x)=-(x-8)(x+8)=-(x^2-8^2)=64-x^2\quad;\quad x\in[-8;8]$$Der Parameter $a=8\,\mathrm{dm}$ legt dabei das Intervall $[-8;8]$ für die $x$-Koordinate und die Basis-Längeneinheit $\mathrm{dm}$ für alle verwendeten Längen fest.

Wegen der Symmetrie der Parabel reicht es aus, die blaue Fläche nur im Bereich $[0;8]$ zu bestimmen und das Ergebnis am Ende zu verdoppeln. Dazu brauchen wir den Eckpunkt $E$ rechts oben, wo da der Wasserstand die Parabel berührt. Der Wasserstand beträgt $h=4,8\mathrm m=48\,\mathrm{dm}$. Der zugehörige $x$-Wert ist daher:$$f(x)=48\implies64-x^2=48\implies x^2=16\stackrel{(x\ge0)}{\implies}x=4$$Da wir nur den Teil rechts vom Nullpunkt betrachten, fällt die Lösung $(x=-4)$ weg.

Der Eckpunkt liegt daher bei $E(4;48)$.

Der rechte Teil der blauen Flächen beträt daher:$$F_{\text{rechts}}=\underbrace{4\cdot48}_{\text{Rechteck}}+\underbrace{\int\limits_4^8f(x)\,dx}_{\text{Parabelbogen}}=192+\int\limits_4^8(64-x^2)\,dx=192+\left[64x-\frac{x^3}{3}\right]_4^8$$$$\phantom{F_{\text{rechts}}}=192+\left(\frac{1024}{3}-\frac{704}{3}\right)=192+\frac{320}{3}=\frac{896}{3}$$Die gesamte Querschnittsfläche des Wassers beträgt also:$$F=2\cdot F_{\text{rechts}}=\frac{1792}{3}\;\;\mathrm{[dm^2]}$$

Bei einer Fließgeschwindigkeit von $v=6\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=60\,\frac{\mathrm{dm}}{\mathrm s}$ fließen daher pro Sekunde$$F\cdot v=\frac{1792}{3}\cdot60=35\,840\;\;\left[\frac{\mathrm{dm}^3}{\mathrm s}\right]$$Wasser durch den Kanal.

Das entspricht $35,84\,\mathrm{m^3}$ Wasser pro Sekunde.

Answer 2

Überlege dir, wie du mithilfe von Integralen die blau schraffierte Fläche berechnen kannst. Die Grenzen findest du über die Gleichung $f(x)=48$.

Comments

Nicht ganz, unter Beachtung der Einheiten muss es $f(x)=48$ heißen.

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Stimmt. Ist ausgebessert.