Quadrik im Dreidimensionalen

Question

Aufgabe:

Wir haben eine Quadrik im Dreidimensionalen gegeben mit Q: = (x,y,z) mit x^2+y^2-z^2=49.
Darauf sollen die Punkte P1=(7,0,0) und P2=(20,15,24) liegen
a) gesucht sind zwei Geraden, die Teilmenge von Q sind und sich in P1 schneiden
b) gesucht sind zwei Geraden, die sich schneiden, Teilmenge von Q sind, P1 soll auf der einen Geraden liegen, P2 auf der anderen

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass wir in der VL grad erst in die Quadriken im R^2 eingestiegen sind und ich keine Idee habe, wie ich vorgehen könnte. Bei a) ist P1 Stützvektor beider Geraden, aber Gleichsetzen von Geradengleichungen unter Nutzung der Vorschrift für Q führt ins Leere.

Im www habe ich dazu bislang nichts gefunden.

Kann mir geholfen werden :)

Der Matheschwitzer

Comments

Mach Dir ein Bild

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Ich habe da ein prinzipielles Verständnisproblem: wie kann eine unendlich lange Gerade eine Teilmenge einer Quadrik sein?

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wie kann eine unendlich lange Gerade eine Teilmenge einer Quadrik sein?

bei Hyperboloiden kann das sein! Suche in Google nach "Hyperboloid" und wähle 'Bilder'.

Und allein mit ein wenig räumlichem Vorstellungsvermögen, findet man dann auch die Geraden.

wie man das 'rechnet', muss ich mir noch überlegen. Habe ich jetzt aber keine Zeit für ....

(Tipp: klick auf das Bild)

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Mache Ebenenschnitte Ebene P1,P3,(0,0,0) - P3 ∈ Q freihand verschoben

Rechnerisch bin ich bei Werner ;-)

Answer 1

a)   Wenn du bei x²+y²-z²=49  für x=7 einsetzt, gilt die Gleichung genau dann,

wenn y²=z² gilt.  Also sind z.B. alle Punkte der Form (7;t;t) oder

auch (7;t;-t) auf der Quadrik.

Das sind die Geraden \(   \vec{x}=\begin{pmatrix} 7\\0\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}\)

und \(  \vec{x}=\begin{pmatrix} 7\\0\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}\), die sich in P schneiden.

Comments

Danke euch allen. Ich hatte mir überlegt, dass ich Q schreiben kann als

(x+z)(x-z)=(y+7)(y-7) <=> x+z=y+7 und x-z=y-z

Damit wird auch deine Argumentation untermauert.

Hast du auch für b) eine Idee? Hier ist es offenbar nicht so einfach.

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Korrektur: Es muss heißen

(x+z)(x-z)=(7+y)(7-y) <=> (x+z=7+y und x-z=7-y) oder (x+z=7-y und x-z=7+y)

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Hat jemand für b) eine Idee?

VG