Extremstellen finden, nach x auflösen

Question

Aufgabe:

\( \frac{x}{\sqrt{40^{2}+x^{2}}}+\frac{x-160}{\sqrt{400+(160-x)^{2}}}=0 \)

Text erkannt:

\( \frac{x}{\sqrt{40^{2}+x^{2}}}+\frac{x-160}{\sqrt{400+(160-x)^{2}}}=0 \)

Problem:

Der Taschenrechner kommt auf 106,666667.

Nur würde ich gerne Wissen, wie man diesen Term löst. (Rechenweg)

Alles was ich bisher versucht habe führte zu anderen Ergebnisse.

Answer 1

Bilde den Hauptnenner und setze den Zähler Null.

Ich gehe davon aus, dass das die Ableitungfkt. ist. Oder nicht?

Comments

Ja ist eine Abgeleitete Funktion.

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Wie bilde ich hier den Hauptnenner?

Answer 2

Du möchtest gern die Summe zweier Abstände minimieren:

\(d(x) = \sqrt{x^2+40^2} + \sqrt{(160-x)^2 + 20^2} \)

Du musst das nicht über Ableitungen und unangenehme Wurzelgleichungen berechnen, denn es handelt sich um Euklidische Abstände zwischen den Punkten

\((0,40),\;(x,0),\: (160,20)\)

Für diese Abstände gilt die Dreiecksungleichung:

\(\sqrt{x^2+40^2} + \sqrt{(160-x)^2 + 20^2} \geq \sqrt{(x+160-x)^2 + (40+20)^2}=\sqrt{160^2 + 60^2}\)

Gleichheit tritt dabei ein, wenn \((x,40)\) und \((160-x,20)\) gleichgerichtet sind:

\((x,40) = t(160-x,20)\Rightarrow t=2 \Rightarrow x=2(160-x)\)

\(\Rightarrow \boxed{x= \frac{320}3}\)

Comments

Könnte man das auch anderes berechnen?, verstehe leider die Euklidische Abstände absolut nicht.

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Naja. Eine andere Methode ist deine. Da musst du aber deine Wurzelgleichung lösen:

Bringe einen der Wurzelterme auf die andere Seite der Gleichung und quadriere.
Dann machst du die Gleichung nennerfrei und löst die Gleichung. Beachte aber, dass durch das Quadrieren falsche Lösungen entstehen können. Mache also die Probe.