Hallo,
die Aufgabe lautet: "Gib den Scheitelpunkt der Parabel an" und wohl nicht: "Funktion bestimmen" auch wenn das im Titel steht.
Der Scheitelpunkt einer verschobenen Normalparabel lässt sich hier auch ohne Kenntnis der Funktion bestimmen. Dazu muss man zwei Dinge wissen:
1.) Die Steigung \(m\) einer Sekante der Parabel ist identisch mit der Steigung \(p`\) der Parabel selbst im arithmetischen Mittel der beiden X-Werte der Sekanten-Schnittpunkte. Für Aufgabe a) heißt das, dass die Steigung \(m\) der Sekante durch \(P\) und \(Q\)$$m=\frac{3-6}{4-1} = -1 \implies p'\left(x=\frac{1}{2}(1+4)\right) =m=-1$$identisch ist, mit der Steigung \(p'\) von \(p\) an der Position \(x=2,5\).
2.) Die Steigung einer Normalparabel verändert sich mit wachsendem \(x\) im Verhältnis \(2\div 1\), was kein Wunder ist, weil dies ist ja die zweite Ableitung der Normalparabel \(p''={\color{green}2}\). D.h. wenn \(p(2,5)=-1\), dann ist $$p(2,5 + 0,5) = -1 + 0,5\cdot {\color{green}2} = 0 \implies p(3)=0 \implies x_s = 3$$Folglich liegt der Scheitel der Normalparabel durch \(P\) und \(Q\) bei \(x_s=3\). Oder anders ausgedrückt: der Scheitel liegt bei \(x_s = x_m - \frac{1}{2}m\), wenn \(m\) die Steigung und \(x_m\) die Mittelpunkt-Koordinate der Sekante ist.
Genauso geht's für b) und c)
b) \(P(2 \mid 3);\space Q(7 \mid 8)\)$$m = \frac{8-3}{7-2} = {\color{red}1} \implies x_s = \frac{1}{2}\left(2+7-{\color{red}1}\right) = 4$$
c) \(P(-6 \mid 4);\space Q(-1 \mid 19)\)$$m=\frac{19-4}{-1-(-6)} = {\color{red}3} \implies x_s=\frac{1}{2}\left(-6-1- {\color{red}3}\right) =-5$$und wenn nötig kann man dann mit Hilfe der Scheitelpunktform die komplette Funktionsgleichung berechnen.
Und hier noch die Graphen als Kontrolle und Anschauung
Gruß Werner
