Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren und berechnen Sie die Grenzwerte:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren und berechnen Sie die Grenzwerte:

a)    \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^{2n}} \)

b)    \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^{2n+1}} \)

Hinweis: Nutzen Sie a), um b) zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich diese Woche meine Analysis-Übung verpasst und habe dadurch keine Ahnung, wie ich die Hausaufgaben lösen soll.

Bei a) soll man sicherlich die geometrische Reihe benutzen. Ich überlege, ob man

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^{2n}} \) als \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) \( q^{n} \) \( q^{n} \) schreiben sollte, aber darf man dann das \( q^{n} \) vor die Summe als Faktor rausziehen?

Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Du darfst nichts, was den Laufindex \(n\) enthält, vor die Summe ziehen (Faktoren, die nicht den Laufindex enthalten, dagegen schon). Geometrische Reihe ist aber eine gute Idee. Tipp: \(q^{2n}=(q^2)^n\).

Für b)  benutzt Du a) und das, was Du gerade über Rausziehen von Faktoren gelernt hast.

Comments

Danke für den Tipp!

Dann kann ich die Reihe schreiben als \( \frac{1}{1-q^{2}} \) und da q nach Voraussetzung aus dem Intervall (0,1) ist (das hatte ich vergessen, zu schreiben), konvergiert die Reihe gegen diesen Bruch :)

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Genauso isses.

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Für b) kann ich dann auch schreiben

q · \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^{2n}} \) = \( \frac{q}{1-q^{2}} \)

:)

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Auch das stimmt.