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Aufgabe 4 (2 Punkte)
Gegeben sind die folgenden von einem Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} \) abhängigen Vektoren in \( \mathbb{R}^{4} \).
\( v_{1}=\left(\begin{array}{c} \alpha \\ -2 \\ -2 \\ \alpha \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \quad w=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \)
Außerdem sei der Untervektorraum \( V \) von \( \mathbb{R}^{4} \) durch \( V=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} \mid\langle x \mid w\rangle=0\right\} \) gegeben.
(a) Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \) ist \( \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \) ein Erzeugendensystem von \( V \) ?
(b) Geben Sie eine Basis des Vektorraums \( V \) an.
Hallo, wie ich verstehe muss ich bei der a so vorgehen, dass Alpha so bestimmt wird, dass v1,v2,v3 linear unabhängig sind. In der Lösung steht alles außer -2. Wieso -2? Und bei der b) kann ich doch für Alpha alles mögliche einsetzen, da v1 für jeden Alphawert außer -2 ein linear unabhängiger Vektor wäre.
