Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass sich unter diesen Karten genau 2 Damen befinden.

Question

Aufgabe:

Von einem Preferences Kartenspiel (32 Karten) werden 5 Karten abgehoben. Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass sich unter diesen Karten genau 2 Damen befinden.

Comments

Du findest die Frage auch unter:

https://mone.denninger.at/wp-content/uploads/2013/12/uzbinomialverteilung.pdf

mit einer Wahrscheinlichkeit von P = 0.098.

Komisch das die Aufgabe auch dort unter Übungen zur Binomialverteilung steht obwohl es keine ist. Aber das ist auch bei Aufgabe 1 der Fall. Vielleicht sind extra ein paar andere Verteilungen zur Abgrenzung dabei.

Und vielleicht hat jemand beim Kopieren der Aufgaben einfach diese für die Binomialverteilung übernommen.

Es gibt ja nicht nur dumme Schüler sondern auch dumme Lehrer.

Answer 1

Aloha :)

Wir überlegen uns die gesuchte Wahrscheinlichkeit$$p=\frac{\text{Anzahl aller günstigen Fälle}}{\text{Anzahl aller möglichen Fälle}}$$mit Hilfe des Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\). Dieser liefert uns nämlich die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.

Von den \(32\) Karten werden \(5\) abgehoben. Daür gibt es \(\binom{32}{5}\) mögliche Kombinationen bzw. mögliche Fälle. Damit kennen wir den Nenner:$$p=\frac{\text{Anzahl aller günstigen Fälle}}{\binom{32}{5}}$$

Für den Zähler überlegen wir uns, dass von den insgesamt \(4\) Damen im Spiel genau \(2\) ausgewählt werden sollen und von den \(28\) anderen Karten genau \(3\) ausgewählt werden sollen. Für die Auswahl der beiden Damen gibt es \(\binom{4}{2}\) Möglichkeiten und für die Auswahl der drei anderen Karten gibt es \(\binom{28}{3}\) Möglichkeiten. Damit kennen wir auch den Zähler:$$p=\frac{\binom{4}{2}\cdot\binom{28}{3}}{\binom{32}{5}}=\frac{\left(\frac42\cdot\frac31\right)\cdot\left(\frac{28}{3}\cdot\frac{27}{2}\cdot\frac{26}{1}\right)}{\frac{32}{5}\cdot\frac{31}{4}\cdot\frac{30}{3}\cdot\frac{29}{2}\cdot\frac{28}{1}}=\frac{6\cdot3276}{201376}=\frac{351}{3596}\approx9,76\%$$

Comments

Danke

was ist mit dieser Methode?

Damen ziehen = 4/32 = 0,125

keine Dame =28/32=0,875

(D,D,KD,KD,KD)=. (5ncr2)x0,125²x0,875³ = 0,1047

Habe die Lösung angegeben, wusste nur den Schritt nicht wie ich es ausrechne.

Es ist ja eine Binomialverteilung

Jeder der geantwortet hat kommt auf 9,76%

Habe ich falsch gefragt ?

Bin jetzt Irritiert

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Die BV ist nicht anwendbar, da Ziehen ohne Zurücklegen.

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Das Beispiel ist aber bei den Binomialverteilungen  angegeben und die Lösung ist 0,1047. Hatte heute Nachhilfe daheim und die hat es mit der Formel gelöst.

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Auch Lösungen können falsch sein. Und auch Nachhilfelehrer können sich irren. Außerdem können Aufgaben schlecht gestellt sein. Wenn man sich die anderen Lösungen anschaut, so sind diese zumindest nachvollziehbar. Wie gesagt, hier haben wir Ziehen ohne Zurücklegen. Da ist die BV nicht anwendbar. Sie liefert allenfalls eine Näherung. Die Grundgesamtheit von \(n=32\) ist hier aber zu gering, so dass die Näherung eher schlecht ist.

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Bitte nicht N mit n verwechseln.

Grundgesamtheit: N = 32

Anzahl der Ziehungen: n = 5

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Der Buchstabe ändert jetzt nichts an der Aussage.

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Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte eine Dame ist, beträgt \(\frac{4}{32}\). Wenn die erste Karte eine Dame war, beträgt die Wahrschinlichkeit, dass die zweite Karte eine Dame ist \(\frac{3}{31}\), denn die erste Dame ist ja rausgenommen worden. Wenn die erste Karte keine Dame war, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte eine Dame ist \(\frac{4}{31}\), denn eine Karte ist schon raus, aber die 4 Damen sind noch drin... Weil die Karten nicht zurückgelegt werden, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten mit jeder weiteren entnommenen Karte. Für die Anwendung der Binomialverteilung muss die Eintrittswahrscheinlichkeit \(p\) aber in jedem Versuch gleich sein.

Answer 2

Hier hilft die hypergeometrische Verteilung. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 5 Karten zu ziehen? Wie viele Möglichkeiten gibt es aus 4 vorhanden Damen zu ziehen und wie viele Möglichkeiten gibt es aus den 28 übrigen Karten die anderen 3 Karten zu ziehen?

Answer 3

Mittels Baumdiagramm:

P(X=2)= 4/32*3/31*28/30*27/29*26/28*(5über2) = 9,76%

(5über2) berücksichtigt alle möglichen Reihenfolgen.

Answer 4

P(Genau 2 Damen) = (4 über 2)·(28 über 3)/(32 über 5) = 351/3596 = 0.09761

Comments

Das Beispiel ist aber bei den Binomialverteilungen angegeben und die Lösung ist 0,1047. Hatte heute Nachhilfe daheim und die hat es mit der Formel gelöst.

Wenn nicht in der Aufgabe stand, dass es näherungsweise mit der Binomialverteilung gelöst werden soll, ist die Näherung über die Binomialverteilung nicht richtig.

Die Binomialverteilung modelliert ein Ziehen mit zurücklegen. Wenn 5 Karten abgehoben werden, dann ist das nicht einzeln und auch nicht mit zurücklegen.

Hypergeometrische Verteilung ist hier exakt

P(Genau 2 Damen) = (4 über 2)·(28 über 3)/(32 über 5) = 351/3596 = 0.09761

Binomialverteilung zur näherungsweisen Berechnung

P(Genau 2 Damen) = (5 über 2)·(1/8)^2·(7/8)^3 = 0.1047