Aufgabe:
Es seien \( 0<\lambda_{1} \leq \ldots \leq \lambda_{n} \) die Eigenwerte der symmetrischen und positiv definiten Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) sowie \( u_{1}, \ldots, u_{n} \in \mathbb{R}^{n} \) zugehörige parweise orthonormale Eigenvektoren. Für \( x \neq 0 \) sei
\( F(x):=\frac{\left(x^{\top} x\right)^{2}}{\left(x^{\top} A x\right)\left(x^{\top} A^{-1} x\right)} . \)
1. Zeigen Sie:
\( F(x)=\frac{1}{\bar{\lambda}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right)} \)
mit \( x=\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i} u_{i}, \beta_{i} \in \mathbb{R}, \gamma_{i}:=\left(\sum \limits_{j=1} \beta_{j}^{2}\right)^{-1} \beta_{i}^{2} \) und \( \bar{\lambda}:=\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i} \) für \( i=1, \ldots, n \).
2. Zeigen Sie \( F(x) \geq 4 \lambda_{1} \lambda_{n}\left(\lambda_{1}+\lambda_{n}\right)^{-2} \). Wo wird diese Aussage im Zusammenhang mit Abstiegsverfahren benötigt?
Problem/Ansatz:
Zum ersten Teil hätte ich mir gedacht:
\( x^{\top} A x=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i} u_{i}\right)^{\top} Q \Lambda Q^{\top}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i} u_{i}\right)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i} u_{i}\right)^{\top} \Lambda\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i} u_{i}\right)= \) \( \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \beta_{i}^{2} \)
\( x^{\top} A^{-1} x=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{-1} \beta_{i}^{2} \)
\( \bar{\lambda}=\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\sum \limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}\right)^{-1} \beta_{i}^{2} \lambda_{i} \)
\( \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\sum \limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}\right)^{-1} \beta_{i}^{2} \lambda_{i}^{-1} \)
\( F(x)=\frac{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right)^{2}}{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \beta_{i}^{2}\right)\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{-1} \beta_{i}^{2}\right)}=\frac{1}{\frac{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right)^{2}}{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \beta_{i}^{2}\right)\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{-1} \beta_{i}^{2}\right)}}= \)\( \frac{1}{\frac{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right)^{2}}{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}\right)\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right)}} \)
\( \left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right)^{2}=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \beta_{i}^{2}\right) \)
\( F(x)=\frac{1}{\frac{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right)^{2}}{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}\right)\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right)}}=\frac{1}{\frac{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}\right)}{\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right)}}=\frac{1}{\bar{\lambda}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1}\right)} \)
Zum zweiten Teil:
Wenn ich jetzt das F8x) mit der Ungleichung \( \sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}^{-1} \leq \frac{\lambda_{1}+\lambda_{n}-\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}} \) betrachte ergibt das doch:
\( F(x) \geq \frac{1}{\bar{\lambda} \cdot \frac{\lambda_{1}+\lambda_{n}-\bar{\lambda}}{\lambda_{1} \lambda_{n}}}=\frac{\lambda_{1} \lambda_{n}}{\lambda_{1}+\lambda_{n}-\bar{\lambda}} \)
\( \bar{\lambda} \) als Mittelwert der Eigenwerte \( \lambda_{i} \):
\( \bar{\lambda}=\sum \limits_{i=1}^{n} \gamma_{i} \lambda_{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\sum \limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}\right)^{-1} \beta_{i}^{2} \lambda_{i}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}}{\sum \limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}} \)
Damit ergibt sich:
\( F(x) \geq \frac{\lambda_{1} \lambda_{n}}{\lambda_{1}+\lambda_{n}-\frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}}{\sum \limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}}}=\frac{\lambda_{1} \lambda_{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}}{\left(\lambda_{1}+\lambda_{n}\right) \sum \limits_{j=1}^{n} \beta_{j}^{2}-\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}}=\frac{4 \lambda_{1} \lambda_{n}}{\left(\lambda_{1}+\lambda_{n}\right)^{2}}= \)\( 4 \lambda_{1} \lambda_{n}\left(\lambda_{1}+\lambda_{n}\right)^{-2} \)
Ist das dann eine Untere Schranke der Funktion F(x)?
Ergibt das so einen Sinn ☺?
