Iterative Methoden in bestimmte Form bringen und zeigen, dass Fixpunkt Lösung des LGS ist

Question

Gegeben sei ein lineares System in der Blockform
              ( A1   B )       *   (x,y)^t    =   (b1,b2)^t           => soll eine Matrix sein
              ( B     A2 )             



mit A1,A2,B ∈ R^(n×n) und x,y,b1,b2 ∈ R^(n). Betrachten Sie die folgenden iterativen Methoden,
bestimmt durch die Vorschriften:
(i) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k) + A2*y^(k+1) = b2,
(ii) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k+1) + A2*y^(k) = b2.

(a) Schreiben Sie für beide Methoden den Iterationsschritt in der Form                

(x^(k+1) , y^(k+1))^t =  M * (x^(k) ,y^(k))^t + b

für eine geeignete Matrix M ∈R^(2n×2n) und einen geeigneten Vektor b ∈R^2n und bestim-
men Sie jeweils die notwendigen Eigenschaften von A1,A2 und B, so dass er durchführbar
ist.
(b) Zeigen Sie, dass der Fixpunkt (x(∞),y(∞))^t der Iterationsvorschrift (falls vorhanden)
jeweils eine Lösung des Gleichungssystem ist.

(c) Finden Sie für jede Methode hinreichende Bedingungen an die Spektralradien der invol-
vierten Matrizen für die Konvergenz

Comments

Bei (ii) wird y nicht verändert??

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Nein, bei (ii) wird y nicht verändert.

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Für (i) sehe ich die Vorschrift so:

$$\begin{pmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -A_1^{-1}B \\ -A_2^{-1}B & 0 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x_k \\y_k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}A_1^{-1}b_1 \\ A_2^{-1}b_2\end{pmatrix}$$

(ii) halte ich für falsch.

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank!

Und zur Info, du hast Recht, (ii) ist falsch, ich habe dem Prof geschrieben, er hat die Aufgabe aktualisiert.

(ii) lautet jetzt

(ii) A1*x^(k+1) + B*y^(k) = b1, B*x^(k+1) + A2*y^(k+1) = b2