Bestimmen mittels Fixpunkt-Iteration

Question

Bestimmen Sie mittels Fixpunkt-Iteration eine näherungsweise Lösung der Gleichung

2+(sin(x))^2=e^{x-3}

Bringen Sie dazu die Gleichung in die Form x=g(x), wählen einen geeigneten Startwert x₀ und bilden die rekursive Folge x₁ = g(x₀), x₂ = g(x₁), x₃ =... .

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis indem Sie die Gleichung lösen.

Answer 1

Wenn Dir nichts besseres einfaellt, dann bringe alles auf eine Seite und addiere noch auf beiden Seiten x. Das macht dann g(x) = 2 + sin² x - e^x-3 + x. Den Startwert entnimmst Du einer Skizze.

~plot~ 2+sin(x)^2-exp(x-3)+x; x;[[-6|6|-3|5]] ~plot~

Comments

Hallo Fakename,

und welchen Startwert soll man hier nehmen?

Grüße,

M.B.

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Na ungefaehr was von da, wo sich rot und blau schneiden, z.B. x₀ = 4.

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Hallo Fakename,

und ich nehme an, Du kannst auch das Funktionieren der Fixpunkt-Iteration garantieren?

Grüße,

M.B.

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Im konkreten Fall sieht man ja, dass die Ableitung von g im Fixpunkt einen Betrag < 1 hat. Das reicht, um die Konvergenz in einer gewissen Umgebung zu sichern und reicht für praktische Beduerfnisse vollkommen aus.

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Kannst du mir mit den Rechnenweg erklären, wie du das gerechnet hast? und wieso hast du auf beiden Seiten x addiert? und wie kann man Ableitung davon bilden?
Für Ihre Hilfe bedanke ich mich im Voraus.

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"   2+(sin(x))²=e^x-3

Bringen Sie dazu die Gleichung in die Form x=g(x) "

Hier steht, dass man auf einer Seite der Gleichung nur noch x haben soll. Das hast Fakename mit der Addition von x erreicht.

Alles andere, was zu tun ist, ist mit " wählen einen geeigneten Startwert x₀ und bilden die rekursive Folge x₁ = g(x₀), x₂ = g(x₁), x₃ =... .  " erklärt. 

Sagen wir du nimmst x0 = 4, so berechnest du x1 indem die g(4) ausrechnest usw. 

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kann mir noch jemand sagen, wie die Ableitung in der Aufgabe genau aussieht?

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Was meinst du mit Ableitung? Willst du g ' (x) bestimmen? Und wozu?

g(x) = 2 + sin² x - e^x-3 + x 

g ' (x) = 0 + 2sin(x)cos(x) - e^{x-3} + 1 

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damit ich Newton-verfahren anwenden kann, um die Lösung zu finden, oder muss man mit anderen Verfahren das machen?

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In der Aufgabe steht: "Bestimmen Sie mittels Fixpunkt-Iteration eine näherungsweise Lösung der Gleichung " 

Da sollst du das machen, was die schreiben. Du kannst allenfalls mit dem Newtonverfahren dein Resultat bestätigen. Ist aber nicht verlangt.