Meinst du den Fixpunktsatz von Banach ?
Der gilt für Kontraktionen, also Abbildungen f von einer nicht-leeren
abgeschlossenen Menge M auf sich .für die gilt:
Für alle x,y ∈ M gilt | f(x) - f(y) | ≤ k * | x-y | mit 0 ≤ k < 1 .
Banales Beispiel wäre
f : [-2;2] → [-2;2] mit f(x) = 0,5x ; denn dann gilt für alle x,y ∈ [-2;2]
| f(x) - f(y) | = | 0,5x - 0,5y | = | 0,5(x - y) | = | 0,5| * | (x - y) |
= 0,5 * | (x - y) | ≤ 0,5 * | (x - y) |
Also Kontraktion mit k=0,5 .
Dann gibt es einen Fixpunkt in [-2;2], also ein x mit f(x)=x
und den bekommst du durch Iteration. Also beginnst mit einem
xo ∈ [-2;2] ( z.B. xo=1 ) und bildest x1 = f(xo) = f(1) = 0,5
Dann x2 = f(x1)= 0,5*0,5 = 0,25
Dann x3 = 0,5*0,25 = 0,125 etc.
Die Folge der xi geht gegen den Fixpunkt , hier die 0 .
