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Aufgabe:

A := {(x, y) ∈ R^2 : x ≥ y} ⊆R^ 2

wie kann ich die innere Punkt ,den Abschluss und den Rand rechnen?und ob es beschränkt, öffnen oder kompakt ist


Problem/Ansatz:

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Versuche dir vorzustellen, wie das aussieht.

Für x=y wäre es die Gerade durch (0;0) und ( 1;1) .

x ≥ y sind dann alle Punkte die auf oder unterhalb der Geraden liegen.

innere Punkte: Alle, für die es eine Umgebung gibt, die noch mit

zu der Menge gehört, also alle Punkte unterhalb der

Geraden, bzw. diejenigen mit x > y .

Das Komplement der gegebenen Menge ist offen, die Menge selbst also abgeschlossen,

somit gleich ihrem Abschluss.

Der Rand also die Punkte auf der Geraden, bzw. die mit x=y.

Beschränkt ist die Menge nicht; denn sie enthält mit (0;x) für alle x>0

Punkte die beliebig weit von (0;0) entfernt sind.  Also auch nicht kompakt.

Offen auch nicht; denn es ist (0;0) in der Menge, aber in jeder ε-Umgebung von

(0/0) liegt etwa der Punkt ( -ε ; 0) der nicht zur Menge gehört.

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