Topologische Begriffe, Abgeschlossenheit der Menge der Berührungspunkte

Question

Aufgabe:Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei A ? X. Zeige die folgenden Aussage

A(Menge Aller Berührungspunkte) ist abgeschlossen.

Problem/Ansatz:

ich komme hier einfach nicht weiter

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sei A ? X

Was bedeutet das Fragezeichen in diesem Zusammenhang.

A(Menge Aller Berührungspunkte) ist abgeschlossen.

Was bedeutet das?

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Hei,

da hat es mir wohl in Latex die Formatierung zerrissen, der obere Satz ist eigentlich trivial, es sollte eigentlich heißen dass A Teilmenge von X ist,

Die Aufgabe ist es zu beweisen dass die Menge aller Berührungspunkte abgelschlossen, sprich das Komplement von A offen ist.

ich habe auch schon ein Ansatz aber siehe Anhang

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\bar{A}^{c} \text { istollen } \\ \Rightarrow 3 \varepsilon>0: U_{\varepsilon}(\bar{A}) \cap \bar{A}=\varnothing \\ \bar{A}=(A+\partial A) \Rightarrow \bar{A}^{c}=(A+\partial A)^{c} \\ \Rightarrow x \in \bar{A} \Rightarrow x \notin \bar{A}^{c} \Rightarrow x \notin(A+\partial A)^{c} \Rightarrow x \notin A^{c} \wedge x \notin \partial A^{c} \\ \Rightarrow \bar{A}^{c}=A^{c} \Rightarrow \bar{A}^{c} \text { ist oller }\end{array} \)
\( \Rightarrow \) Aulsabe: \( \bar{A} \) ist abgescllosser

Answer 1

Hallo,

Deinen Erklärungen kann ich nicht folgen. Ich schreibe mal auf, wie ich das machen würde:

Sei also \(A \sub X \) und H die Menge A vereinigt mit ihren Berührpunkten. Zu zeigen ist: H ist abgeschlossen, also \(H^c\) ist offen.

Sei \(x \in H^c\). Weil x kein Berührpunkt ist, existiert eine s-Umgebung \(B(x,s)\) (offene Kugel um x mit Radius s) mit \(A \cap B(x,s)=\emptyset\).

Diese Umgebung enthält aber auch keinen Berührpunkt von A. Denn wenn \(y \in B(x,s)\) ein Berührpunkt wäre, dann wählen wir einen Radius t mit \(B(y,t) \sub B(x,s)\) - das geht mit \(t < s-d(x,y)\). Weil y ein Berührpunkt ist ist, gäbe es ein \(a \in A\) mit \(a \in B(y,t) \sub B(x,s)\). Das ist ein Widerspruch zur Konstruktion der s-Umgebung.

Also gilt nicht nur \(A \cap B(x,s)=\emptyset\), sondern auch \(H \cap B(x,s)=\emptyset\),

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Danke bin mit der Hilfe von meinem Prof auch auf dasselbe Ergebnis gekommen! (zumindest ein Ergebnis auch in der Richtung)