Topologische Begriffe bezüglich Mengen beweisen:

Question

Aufgabe:

Wie kann man folgende zwei Aussagen zeigen:

1. \( \stackrel{\circ}{M}=M \backslash \partial M \)

 2. \( \partial M=\bar{M} \backslash \stackrel{\circ}{M}=\partial(X \backslash M) \);

Problem/Ansatz:

\( \stackrel{\circ}{M}\) = das Innere

\( \partial M\) = Rand

\(\bar{M}\) = Abschluss

Keinen Plan, wie ich diese beiden Aussagen beweisen soll?

Comments

Wenn Du eine gut verwendbare Antwort haben möchtest, solltest Du sagen, ob X ein topoligischer Raum oder konkreter ein metrisch Raum ist.

Helfen können auch die Definitionen für "Inneres, Abschluss, Rand"

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(X,d) ist ein metrischer Raum und M ⊂ X ist eine beliebige Teilmenge.

Inneres:

Die Menge der inneren Punkte von M heißt das Innere von M (\( \stackrel{\circ}{M}\))

Abschluss:

Der Abschluss von M ist die Menge aller Punkte x∈X, deren ε-Umgebung für jedes ε>0, die Menge M treffen (\(\bar{M}\))

Rand:

Die Menge der Randpunkte von M heißt Rand von M (\( \partial M\))

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x heißt dann innere Punkte von M, wenn es eine ε-Umgebung gibt, welche ganz in M liegt.

x heißt Randpunkt, wenn jede ε-Umgebung sowohl M als auch X\M trifft.

Answer 1

Man kann die Gleichheit von 2 Mengen A und B beweisen, indem man zeigt, dass A Teilmenge von B und B Teilmenge von A ist. In diesem Sinn:

Wenn \(x \in M°\): Dann existiert e>0 mit \(U(x,e) \sub M\), also

$$1. \quad x \in U(x,e) \Rightarrow x \in M$$

$$2. \quad U(x,e) \sub M \Rightarrow U(x,e) \cap X \setminus M= \emptyset \Rightarrow x \notin \partial M$$

Zusammen: \(x \in M\setminus \partial M\)

Wenn \(x \in M\setminus \partial M\). Dann

$$\forall e>0: \quad x \in U(x,e) \cap M \neq \emptyset \\\text{  Daher } x \notin \partial M \Rightarrow \exists e>0: \quad U(x,e) \cap X\setminus M =\emptyset \Rightarrow U(x,e) \sub M$$

Daher \(x \in M°\).

Wenn \(x \in \partial M\). Dann

$$1. \quad \forall e >0: \quad U(x,e) \cap M \neq \emptyset \Rightarrow x \in \bar{M}$$

$$2 \quad \left[ \forall e >0: \quad U(x,e) \cap X \setminus M \neq \emptyset \Rightarrow U(x,e) \not \sub M\right] \Rightarrow x \notin M°$$

Zusammen : \(x \in \bar{M}\setminus M°\)

...

Comments

... dann schneidet jeder Nachbar von x M. Da jedoch \( x \notin M°\), liegt kein Nachbar von x vollständig in M. Daher ist \(x \in \partial M\)