Aufgabe:
Die BDF-Verfahren beruhen auf Differentiation und Polynominterpolation, wobei implizite Mehrschrittverfahren entstehen. In dieser Aufgabe wollen wir diesen Ansatz zur Konstruktion von expliziten Mehrschrittverfahren einsetzen.
Betrachten Sie die Differentialgleichung \( y^{\prime}=f(x, y)(y: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) \) und ein uniformes Gitter \( x_{\ell}=x_{0}+\ell h . \) Die Knoten \( \left(x_{\ell}, y_{\ell}\right) \) für \( \ell=i+1, i, i-1, \ldots, i-k+1 \) werden interpoliert mit einem Polynom \( p \in \mathbb{P}_{k}\left(\mathbb{P}_{k}:\right. \) Menge aller Polynome mit Grad höchstens \( \left.k\right) \). Wir fordern nun \( p^{\prime}\left(x_{i}\right)=f\left(x_{i}, y_{i}\right) \) um eine Differenzenformel der Gestalt
\( y_{i+1}=h \beta f\left(x_{i}, y_{i}\right)-\alpha_{1} y_{i}-\alpha_{2} y_{i-1}-\cdots-\alpha_{k} y_{i-k+1} \)
zu erhalten.
Bestimmen Sie die entsprechenden Methoden in den Fällen \( k=1 \) und \( k=2 \). Welche bekannten Verfahren entstehen hier?
Hey, Ich habe zu morgen diese Aufgabe auf und brauche dringend Hilfe
Ich würde mich über Hilfe freuen :)
