Wie kann man diese Gleichung mit Wurzel und Potenz lösen?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle - \frac{1}{3} x + \frac{7}{3} = \frac{2}{\sqrt{x}} \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Gleichung lösen?

Comments

Ich habe x=1 und x=4 ausprobiert und beide scheinen Lösungen zu sein.

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Zur Gleichung:

Mit 3√x multiplizieren

-x√x+7√x=6

Substituiere z=√x, beachte z≥0

-z³+7z=6

Umstellen

z³-7z+6=0

Da z=1 eine Lösung ist:

(z²+z-6)•(z-1)=0

(z-2)(z+3)(z-1)=0

(√x -2)(√x +3)(√x -1)=0

Die mittlere Klammer ist für alle reellen Zahlen positiv.

Daher sind x=1 und x=4 die einzigen Lösungen.

:-)

Answer 1

multipliziere beide Seiten mit \( \sqrt{x} \)

multipliziere mit 3/7

multipliziere mit -3

Comments

Antwort obsolet, da Du die Gleichung nachträglich abgeändert hast.

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Tut mir leid, hatte die falsche Angabe geschrieben! Weißt du, wie ich die neue Gleichung lösen kann?

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MontyPython hat es in seiner Antwort ja geschreiben.

Answer 2

- 1/3·x + 7/3 = 2/√x

- 1·√x·x + 7·√x = 6

Subst. √x = z

- 1·z^3 + 7·z = 6

z^3 - 7·z = -6

z^3 - 7·z + 6 = 0

Man sieht eine Nullstelle bei z = 1 und macht eine Polynomdivision

(z^3 - 7·z + 6)/(z - 1) = z^2 + z - 6 = 0

pq-Formel liefert weitere Nullstellen bei z = -3 oder z = 2

Jetzt macht man eine Resubstitution

√x = -3 → Keine Lösung für x
√x = 1 → x = 1
√x = 2 → x = 4

Damit hat man die Lösungen x = 1 oder x = 4 gefunden.