Beweis vom Satz: Signumfunktion und Uneigentliche Konvergenz

Question

Guten Tag!

Ich bin hier neu und höre zur Zeit Analysis I.

Ich habe nun eine Frage:

Ich soll einen Satz beweisen, der wie folgt lautet:

Sei (x_n)_n∈ℕ eine Folge in den reellen Zahlen mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \)x_n=∞ und (y_n)_n∈ℕ eine Folge in den reellen Zahlen mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \)y_n=c∈ℝ\{0}. Dann ist \( \lim\limits_{n\to\infty} \)(x_ny_n)=sign(c)*∞.

Leider habe ich noch nicht so viel herausfinden können. Ich weiß jedoch, dass Sign(c) entweder gleich 1 (falls c>0) oder -1 (falls c<0) ist. Ich weiß auch, dass ich hier mit der Definition der uneigentlichen Konvergenz arbeiten kann.

Vorgehen würde ich so: Da es sich um eine äquivalente Aussage handelt, würde ich Hin- und Rückrichtung zeigen, damit der Satz gilt.

Mehr Ideen habe ich leider nicht. Ich habe versucht einfach mal was zu schreiben, aber das waren leider nicht die richtigen Überlegungen.

Vielleicht habt ihr ja ein paar Tipps. Jedenfalls würde ich mich sehr freuen.

Beste Grüße vom Mathestudenten:)

Answer 1

Sei (xn)n∈ℕ eine Folge in den reellen Zahlen mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \)xn=∞ und (yn)n∈ℕ eine Folge in den reellen Zahlen mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \)yn=c∈ℝ\{0}.

Unterscheide die Fälle c>0 und c<0 . c=0 ist ja ausgeschlossen.

Etwa c>0. Betrachte die Folge xn*yn.

Wegen \( \lim\limits_{n\to\infty} x_n=\infty \) gibt es zu jedem
K∈ℝ ein N mit n>N ==>  x_n > K.     #

Wegen \( \lim\limits_{n\to\infty} y_n=c \) gibt es zu jedem ε∈ℝ⁺
ein M mit n>N ==>  |yn-c| < ε.

Für ε=c/2 hast du dann jedenfalls für n>N dass immer gilt
              -c/2 <  yn-c < c/2 ==<   c/2 <  yn <  3c/2

Sei nun K∈ℝ, dann ist zu zeigen, dass es ein M gibt mit n>M ==>  xn*yn > K.

Wegen # gibt es zu K:(c/2) ein M mit  
n>M ==>  xn > 2K/c    und ( siehe ## )   c/2 <  yn < 3c/2

Da xn > 0 also     ==>      xn* c/2   <   xn * yn   < xn * 3c/2

                          ==>  2K/c * c/2   <  xn * yn

                           ==>     K <  xn * yn.

     Also  \( \lim\limits_{n\to\infty} x_n \cdot y_n = \infty = sign(c) \cdot \infty \) .

Für c<0 analog.

Da drehen sich ja beim Multiplizieren die Vergleichszeichen um.

Comments

Vielen Dank, das war sehr verständlich. Ich habe den Beweis verstanden:)

Ich werde mit meinen Kommilitonen darüber quatschen. Ich wünsche schöne Feiertage