Gleichungssysteme mit lambda lösen

Question

Aufgabe:

Ich muss folgende Gleichungssysteme nach \(r_1\) oder \(r_2\) freistellen:$$\begin{aligned} r_1^{-0,5}\cdot r_2^{0,4} -5 \lambda &=0 \\ 0,8r_1^{0,5}\cdot r_2^{-0,6}-10 \lambda &=0 \\ 75 - 5r_1 - 10r_2 &=0 \\ \end{aligned}$$

1. 1r1^-0,5*r2^0,4 -5 lambda=0

2. 0,8r1^0,5*r2^-0,6-10 lambda=0

3. 75 - 5r1 - 10r2 =0

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass ich die ersten beiden Gleichungen zum Beispiel im Additionsverfahren verrechnen muss und dann nach zum Beispiel \(r_1\) freistellen muss um weiter zu machen. Aber ich komme einfach nicht auf die Lösung. Mein Ergebnis ist nie das was in der Lösung vorgegeben ist. Ich bin wirklich dankbar für jede Hilfe.

Answer 1

Bringe in der 1. und 2. Gleichung lamda nach rechts und dividiere die 1. durch die 2.

Dadurch verschwinden die Exponenten.

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Vielen Dank!

Answer 2

1.) \(r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,4}-5λ=0\)

2.) \(0,8r_1^{0,5} \cdot r_2^{-0,6}-10λ=0\)

3) \(75-5r_1-10r_2=0\)  → \(r_1+2r_2=15\)  → \(r_1=15-2r_2\)

2*1.) :

\(2r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,4}-10λ=0\)

2.) \(0,8r_1^{0,5} \cdot r_2^{-0,6}-10λ=0\)

2*1.) -2.):

\(2r_1^{-0,5} \cdot r_2^{0,4}=0,8r_1^{0,5}\cdot r_2^{-0,6}\)

\(2 \cdot (15-2r_2)^{-0,5} \cdot r_2^{0,4}=0,8 \cdot (15-2r_2)^{0,5}\cdot r_2^{-0,6}\)

\( (15-2r_2)^{-0,5} \cdot r_2^{0,4}=0,4 \cdot (15-2r_2)^{0,5}\cdot r_2^{-0,6}\)

\( \frac{r_2^{0,4}}{(15-2r_2)^{0,5} }=\frac{0,4 \cdot (15-2r_2)^{0,5}}{r_2^{0,6}} \)

"Über Kreuz Multiplizieren":

\( r_2^{0,4} \cdot r_2^{0,6}=0,4 \cdot (15-2r_2)^{0,5}\cdot (15-2r_2)^{0,5}\)

...

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Vielen vielen Dank!