Hallo, ich habe mich and die Aufgabe versucht und habe einen Ansatz, weiß jedoch nicht ob der auch richtig oder sinnig ist, deswegen bräuchte ich ein bisschen Hilfe.
Danke im voraus!
Aufgabe:
Für den kommutativen Ring der ganzen Zahlen ⟨Z, +, ·⟩ ist bekanntlich für n ∈ N definiert:
nZ =df {n · z | z ∈ Z}.
So ist etwa 3Z = {0, 3, −3, 6, −6, 9, . . .}.
1. Zeigen Sie, dass nZ für alle n ∈ N ein Ideal von Z ist.
2. Zeigen Sie, dass es in Z nur Ideale vom Typ nZ gibt.
Hinweis: Betrachten Sie für ein von {0} verschiedenes Ideal I die kleinste in I enthaltene
positive Zahl n und zeigen Sie nZ = I.
Mein Ansatz:
1: Beweis, dass (nZ) für alle (n ∈ N) ein Ideal von (Z) ist:
Sei (a, b ∈ nZ), dann gilt (a = n * x) und (b = n * y) für einige (x, y ∈ Z). Da die Addition in (Z) abgeschlossen ist, ist
(a + b = n * x + n * y = n * (x + y) ∈ nZ).
Für jedes (r ∈ Z) und (a ∈ nZ), haben wir (r *a = r * (n * x) = (r * n) * x = n * (r * x) ∈ nZ).
--> (nZ) ein Ideal von (Z).
2: Beweis, dass es in (Z) nur Ideale vom Typ (nZ) gibt:
Sei (I) ein von (0) verschiedenes Ideal in (Z). Lassen Sie (n) die kleinste positive Zahl in (I) sein.
Für jedes (a ∈ I), da (n) die kleinste positive Zahl in (I) ist, können wir den euklidischen Algorithmus verwenden, um
(a = qn + r) zu schreiben, wobei (0 ≤ r < n). Da (a, n ∈ I) und (I) ein Ideal ist, folgt daraus, dass (r = a - qn ∈ I). Aber (r < n), und da (n) die kleinste positive Zahl in (I) ist, muss (r = 0) sein.
Daher ist (a = qn ∈ nZ).
Da jede Zahl in (I) in (nZ) ist, haben wir (I ⊂ nZ).Da (n \in I) und (I) ein Ideal ist, haben wir (nZ ⊂ I). Daher ist (I = nZ).
Daher sind alle Ideale in (Z) vom Typ (nZ).
