Exponentialverteilung, Funktionsdauer eines Systems

Question

Guten Tag liebe Community, ich habe hier folgende Aufgabe

Aufgabe:

Ein System bestehe aus vier gleichartigen, voneinander unabhängigen Komponenten. Es funktioniert wenn (A und B) oder (C und D) funktionieren. Die Funktionsdauer des Gesamtsystems werde mit T, die der einzelnen Komponenten T_{k}, k∈{A,B,C,D} bezeichnet. T_{k} sei exponentialverteilt zum Parameter α. Zeigen Sie, dass P(T<t)=(1-\( e^{-2αt} \) )^{2}

Problem/Ansatz:

Also das gesuchte Ereignis ist E=(A∩B)∩(C∩D). Kann mir jemand sagen, wie ich weiter rechnen muss?

Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Kleiner Tipp. Schreib dir erstmal die Wahrscheinlichkeit auf das A und B funktionieren. Dann das C und D funktionieren. Und dann mit dem Additionssatz das (A und B) oder (C und D) funktionieren.

P(T < t) = 2·(1 - EXP(- a·t)^2) - (1 - EXP(- a·t)^4)

Vereinfache den Ausdruck

P(T < t) = 2 - 2·EXP(- a·t)^2 - 1 + EXP(- a·t)^4
P(T < t) = 1 - 2·EXP(- a·t)^2 + EXP(- a·t)^4
P(T < t) = (1 - EXP(- 2·a·t))^2