Aufgabe:
Seien G, H ⊂ R
2 Geraden mit G∩H = {p}, a, a′ ∈ G\{p}
und b, b′ ∈ H \{p}. Weiter gelte Ga,b−a ∥ Ga′,b′−a′.
Wir wollen den Strahlensatz in mehreren Schritten beweisen, zeigen Sie dazu:
a) Es gibt α, β, µ ∈ R, sodass gilt:
a′ − p = α · (a − p) b′ − p = β · (b − p) b′ − a′ = µ · (b − a)
b) α = µ = β. Betrachten Sie dazu (µ−α)·(a−p) + (β −µ)·(b−p) und den Beweis von 3.133.
c) Folgern Sie:
∥a′ − p∥ / ∥a − p∥ = ∥b′ − p∥ / ∥b − p∥= ∥b′ − a′∥ / ∥b − a∥
Problem/Ansatz:
ist das richtig??
a) Existenz von α, β, µ:
Da Ga,b−a∥Ga′,b′−a′, sind die Richtungsvektoren proportional. Das bedeutet, es existieren Skalare
α, β, und μ so, dass:
a′−p=α⋅(a−p)
b′−p=β⋅(b−p)
b′−a′=μ⋅(b−a)
b) α = µ = β:
Betrachten Sie den Ausdruck
(μ−α)⋅(a−p)+(β−μ)⋅(b−p). Wir setzen
μ durch den Ausdruck aus Punkt a) ein:
(μ−α)⋅(a−p)+(β−μ)⋅(b−p)=(α−α)⋅(a−p)+(β−β)⋅(b−p)
Dies vereinfacht sich zu 0, und daher ist der Ausdruck0.
Nun betrachten Sie auch den Ausdruck
(μ−α)⋅(a−p)+(β−μ)⋅(b−p)=0. Das bedeutet, dass die Koeffizienten von (a−p) und (b−p) gleichzeitig 0 sind.
Daraus folgt:
μ−α=0⟹μ=α
β−μ=0⟹β=μ
Daher haben wir gezeigt, dass α=μ=β.
c) Folgerungen:
Nun können wir die Gleichungen aus Punkt a) verwenden:
∥a′−p∥ / ∥a−p∥ =α. ∥a−p∥ / ∥a−p∥=α
∥b′−p∥ / ∥b−p∥=β⋅∥b−p∥ / ∥b−p∥ =β
∥b′−a′∥ / ∥b−a∥
=μ⋅∥b−a∥ / ∥b−a∥ =μ
Da wir in Punkt b) gezeigt haben, dass α=μ=β, erhalten wir:
∥a−p∥ / ∥a′−p∥ = ∥b′−p∥ / ∥b−p∥ = ∥b′−a′∥ / ∥b−a∥ =α
Daher gilt die Gleichung:
∥a′−p∥ / ∥a−p∥ = ∥b′−p∥ / ∥b−p∥= ∥b′−a′∥ / ∥b−a∥
