"Punkte" auf einer Geraden

Question

Problem/Ansatz:

Grundsätzlich kann ich mir die MEnge G sehr gut grafisch vorstellen, da es sch hierbei ja um die "klassische" Lineare Funktion handelt. Aber irgendwie habe ich nicht wirklich Ansätze wie ich die dazugehörigen Aufgaben lösen kann. Kann mir jemand vielleicht Ansätze geben?

Answer 1

a)  Für die Richtung "==>" betrachte: Sei H:= G(m,b) = G(m',b') =: H'.

Wegen 0∈K folgt b ' ∈ H ' also auch b ' ∈ H.

==>   ∃r∈K mit b ' = r·m+b  #

Und wegen 1∈K folgt m' +b ' ∈ H ' also auch m' + b ' ∈ H.

==>  ∃s∈K mit m' + b ' = s·m+b  ##

## - # gibt   m' = (s-r)·m und s-r ist das behauptete k1.

Das ist nicht 0, denn sonst wäre m'=0 und somit H'={b'}

Wegen H=H' also auch H={b'}, somit auch m=0 und

damit wäre etwa auch m'=1·m, also gibt es ein k1≠0

mit m'=k1·m.

Aus ## folgt ja m' + b ' = s·m+b

==>                k1·m + b ' = s·m+b

==>  b ' = s·m - k1·m +b = (s-k1) ·m +b

    und s-k1 ist das behauptete k2.

Rückrichtung: Es gibt k1≠0 und k2 in K mit

     m'=k1·m und b' =k2·m +b.

Sei x∈H, also gibt es s∈K mit x =  s·m + b

                   ==>    x =  (1/k1)·m' + b'-k2·m

                 ==>    x =  (1/k1)·m' + b'-  1/k1·m'

                  ==>    x =  (1/k1  - 1/k1)·m' + b'  also x∈H'.

Analog folgt aus x∈H' auch x∈H. Also H=H'.

Comments

Vielen Dank für diese tolle, ausführliche und nachvollziehbare Antwort, hättest du vielleicht auch für die anderen Teilaufgaben eine Lösung?

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b)  Probiere mal mit m=v1-v2 und b=v2.

c) Das geht wohl immer dann, wenn b=0-Vektor ist.

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Also wenn ich bei b beide Gleichungen nehme und diese dann nach v1 umstelle, ist v1=m-b also ist v1∈G aber wie kann ich das mit v1 zeigen dann? (Meine Idee war da noch mit der Definition von v zu arbeiten)

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b)  Wähle m=v1-v2 und b=v2.

            G(m,b)={v∈K^n | v = k*m+b , k∈K}

            ={v∈K^n | v = k*(v1-v2)+v2 , k∈K}

Dann zeigen k=0 , dass v2∈G(m,b),

und k=1 , dass v2∈G(m,b).

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Und wie kann ich k=0 und k=1 zeigen?

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Du hast doch:

Für alle k∈K ist v= k*(v1-v2)+v2

ein Punkt der Geraden.

Also erhältst du für k=0   v=v2

und für k=1     v=1*(v1-v2) + v2 = v1.

Also beide auf der Geraden.

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Okay b ist mir vollkommen klar, da hatte ich einfach einen Denkfehler tut mir leid .

Zu c.) wenn b=0 und m beliebig aus R dann ist G ein Unterraum von K, dass habe ich schon gezeigt, aber wenn b nicht 0 ist müsste m ja -b sein oder? Und kann man das dann über Linearkombination zeigen?

zu d.) dort habe ich durch Graphische darstellung festgestellt das alle 3 v₃  nicht auf der Geraden von v₁ und v₂ liegt. Aber wie könnte ich das zeigen?