Beweise, dass P und Q genau dann linear abhängig sind, wenn 0 ∈ g.

Question

Aufgabe:

2.3 Sei \( \mathbf{g} \in \mathcal{G}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) und sei \( P, Q \in \mathbf{g} \) verschieden. Beweisen Sie, dass \( P, Q \) genau dann linear abhängig sind, wenn \( 0 \in \mathbf{g} \).
( 6 Punkte)

\( 2.4 \) Sei g die Gerade \( \mathbf{g}=\left\{\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 2-\lambda\end{array}\right): \lambda \in \mathbb{R}\right\} \) und sei \( P:=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1\end{array}\right), Q:=\left(\begin{array}{c}3 \\ -1\end{array}\right) \) und \( R:=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3\end{array}\right) \).
Untersuchen Sie, ob \( Q, R \) auf der Parallele zu \( \mathrm{g} \) durch \( P \) liegen.
( 5 Punkte)

2.5 Seien \( A, P, U \in \mathbb{R}^{2} \) und sei \( U \neq 0 \). Zeigen Sie, dass \( \mathbf{G}(\mathrm{J}(U),\langle\mathrm{J}(U), P\rangle) \) die Parallele zu \( A+\mathbb{R} U \) durch \( P \) ist, wobei
\( \mathbf{G}(N, c):=\left\{Q \in \mathbb{R}^{2}:\langle N, Q\rangle=c\right\} . \)
(5 Punkte)

Problem/Ansatz:

Aufgabe 2.4 haben wir schon gelöst, aber von 2.3 und 2.5 haben wir leider gar keine Ahnung. Also falls jemand einen Ansatz oder Tipps hat, wie man bei der Lösung vorgehen könnte, wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

Hallo,

es kommt ein wenig darauf an, wie Ihr 'Gerade' definiert habt. Ich setzte mal voraus, dass für eine Gerade \(g\) ein Richtungsvektor \(v \ne 0\) existiert, mit der Eigenschaft$$v = k(Q-P) \quad k\in \mathbb R \quad \forall P,\,Q \in g \quad Q \ne P$$D.h. jede Differenz von zwei beliebigen Punkten auf \(g\) ist linear abhängig zu \(v\).

Damit lässt sich dann der Beweis in 2.3 führen: Daraus folgt direkt wenn \(0 \in g\) $$v = k_P(P-0) = k_P P\\ v = k_Q(Q - 0) = k_Q Q$$Division der beiden Gleichung gibt die lineare Abhängigkeit$$0 = k_P P - k_Q Q \implies Q = -\frac{k_P}{k_Q}P$$

zu 2.5: Da ist nicht definiert, was \(J(x) \space x \in \mathbb R^2\) ist. ich gehe mal davon aus, dass es sich um die Orthogonale zu \(x\) handelt. Also gilt \(\left<J(x),\,x\right> = 0 \) Ist das so?

Ich definiere dann 'Parallelität' von zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\) damit, dass es einen (gemeinsamen) Vektor \(v\) gibt für den gilt$$\exists v: \quad v = k_1(P-Q) = k_2(R-S) \space \forall P,Q \in g_1 \space \forall R,S \in g_2 \implies g_1\parallel g_2$$Daraus folgt dann auch gleich, dass zwei Geraden genau dann schon parallel sind, wenn zwei ihrer Richtungsvektoren linear abhängig sind.

Bei der ersten Geraden ist ein Richtungsvektor \(v\) implizit gegeben$$g_1: \quad A + \mathbb RU \implies v = U$$Auf der zweiten Geraden wähle ich zwei unterschiedliche Punkte \(P_1\) und \(P_2\) - also ist hier$$\left< J(U),\, P_1\right> = \left<J(U),\, P_2\right> = c \quad P_1 \ne P_2$$ und nach obiger Annahme gibt es auch hier einen Richtungsvektor \(u\)$$u = k(P_1-P_2) \implies P_2 = P_1 - \frac 1k u \quad k \ne 0$$Einsetzen gibt dann $$\begin{aligned}\left< J(U),\, P_1\right>&=\left<J(U),\, P_2\right> \\ \left< J(U),\, P_1\right>&=\left<J(U),\, P_1 - \frac 1k u \right> \\ \left< J(U),\, P_1\right> &= \left< J(U),\, P_1\right> - \left<J(U),\, \frac 1k u \right> \\ 0 &=\frac 1k \left<J(U),\, u \right>\\ 0 &=\left<J(U),\, u \right>\end{aligned}$$und daraus folgt (im \(\mathbb R^2\)), dass \(u\) linear abhängig zu \(U\) und damit zu dem \(v\) von \(g_1\) ist. Also sind beide Geraden parallel und \(P\) ist schon lt. Vorgabe ein Punkt auf der zweiten Geraden.

Gruß Werner

Answer 2

2.4 ist elementar lösbar:

Comments

Danke, aber Aufgabe 2.4 haben wir selber schon gelöst, wie in der Beschreibung steht:)

---

Stelle bitte nur die Aufgaben ein, deren Lösung du nicht ohne Hilfe findest.