Mit Hilfe von Konvergenz Dezimalbruch zeigen

Question

Aufgabe:

Weise Sie mit Hilfe der Konvergenz der Dezimalbrüche nach, dass \(\frac{1}{6} = 0.16666...\) gilt.

Leider verstehe ich nicht so ganz, wie ich das machen soll. Verstanden habe ich, dass ich b-adische Brüche verwenden soll. Unser Beispiel im Skript ist nur leider ganz anders als in der Aufgabe und daher komme ich einfach nicht drauf...

Answer 1

Aloha :)

$$0,\pink1\green6{\color{brown}6}{\color{blue}6}{\color{orange}6}\ldots=\pink{\frac{1}{10}}+\green{\frac{6}{100}}+{\color{brown}\frac{6}{1000}}+{\color{blue}\frac{6}{10000}}+{\color{orange}\frac{6}{100000}}+\dots$$$$\phantom{0,16666\ldots}=\pink{\frac{1}{10}}+\frac{6}{100}\cdot\left(\green1+{\color{brown}\frac{1}{10}}+{\color{blue}\frac{1}{100}}+{\color{orange}\frac{1}{1000}}+\ldots\right)$$$$\phantom{0,16666\ldots}=\frac{1}{10}+\frac{6}{100}\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{10}\right)^n$$Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{falls }|q|<1$$können wir die unendliche Summe mit \((q=\frac{1}{10})\) durch ihren Grenzwert ersetzen:$$0,16666\ldots=\frac{1}{10}+\frac{6}{100}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{10}+\frac{6}{100}\cdot\frac{10}{10-1}=\frac{1}{10}+\frac{6}{90}$$$$\phantom{0,16666\ldots}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac16\quad\checkmark$$

Comments

Ach das ist so einfach :D

Habe es auf jeden Fall verstanden. Vielen vielen Dank!!