Aloha :)
Wegen der Art der Aufgabenstellung (Bestimmung der Ableitung nur an einer bestimmten Stelle \(x_0\)), gehe ich davon aus, dass die Ableitung mittels des Differentialquotienten bestimmt werden soll:$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Hier sind uns gegeben:$$f(x)=2\sqrt{x+x^2}\quad\text{und}\quad x_0=2$$sodass \(f(x_0)=f(2)=2\sqrt6\) gilt und der Differentialquotient lautet:
$$f'(2)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\pink2\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}-\pink2\sqrt{6}}{h}=\pink2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}-\sqrt{6}}{h}$$
Wegen des \(h\) im Nenner können wir nicht einfach \(h=0\) einsetzen und müssen den Bruch vorher so umformen, dass sich dieses \(h\) "irgendwie" rauskürzt. Zu diesem Zweck erweitern wir den Bruch so, dass wir im Zähler die dritte binomische Formel anwenden können:
$$f'(2)=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{(\overbrace{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}}^{a}-\overbrace{\sqrt{6}}^{b})\cdot\pink{(\overbrace{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}}^{a}+\overbrace{\sqrt{6}}^{b})}}{h\cdot\pink{(\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6})}}$$$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\overbrace{(2+h)+(2+h)^2}^{a^2}-\overbrace{6}^{b^2}}{h\cdot(\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6})}$$
Jetzt können wir nämlich den Zähler ohne störende Wurzeln vereinfachen:$$(2+h)+(2+h)^2-6=(2+h)+(4+4h+h^2)-6=5h+h^2=h\cdot(5+h)$$
Damit haben wir im Zähler den Faktor \(h\) abgespalten und können den Bruch kürzen:$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\pink h\cdot(5+h)}{\pink h\cdot(\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6})}$$$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{5+h}{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6}}$$$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\frac{5+0}{\sqrt{(2+0)+(2+0)^2}+\sqrt{6}}=2\cdot\frac{5}{\sqrt6+\sqrt6}=\frac{5}{\sqrt6}$$
