Erste Ableitung an Stelle x berechnen.

Question

Hallo zusammen,

Kann mir jemand helfen, für die gegebene Funktion die erste Ableitung an der Stelle x0 zu berechnen?

f(x)=2∗x−−√+x2 (x0=2)

Vielen Dank!

Comments

Die Schreibweise ist unverständlich. Korrigiere sie bitte!

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f(x)=2∗x−−√+x2 (x0=2) versteht niemand, der dir antworten möchte. es könnte

f(x)=(2∗x−√x)² (x₀=2) oder f(x)=2∗x−(−√x)² (x₀=2) und noch vieles andere gemeint sein. Fehlen Klammern? Fehlen Glieder der Zeichenkette zum Beispiel zwischen den beiden aufeinanderfolgenden Minuszeichen oder vor dem Pluszeichen unter der Wurzel?

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Da ist mir ein Fehler unterlaufen, entschuldigt bitte!

Gemeint ist: f(x) = 2*√x + x² ------> Gesucht ist die Ableitung der Funktion an der Stelle x0 = 2

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Gemeint ist: f(x) = 2*√x + x²

Formal ist das $$f(x) = 2\sqrt{x} + x^2$$oder meinst Du vielleicht$$f(x)= 2\sqrt{x+x^2}$$sollte die zweite Variante korrekt sein, benutze bitte Klammern - z.B.: 2√(x+x²) das wäre eindeutig.

Answer 1

Aloha :)

Wegen der Art der Aufgabenstellung (Bestimmung der Ableitung nur an einer bestimmten Stelle $x_0$), gehe ich davon aus, dass die Ableitung mittels des Differentialquotienten bestimmt werden soll:$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Hier sind uns gegeben:$$f(x)=2\sqrt{x+x^2}\quad\text{und}\quad x_0=2$$sodass $f(x_0)=f(2)=2\sqrt6$ gilt und der Differentialquotient lautet:

$$f'(2)=\lim\limits_{h\to0}\frac{\pink2\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}-\pink2\sqrt{6}}{h}=\pink2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}-\sqrt{6}}{h}$$

Wegen des $h$ im Nenner können wir nicht einfach $h=0$ einsetzen und müssen den Bruch vorher so umformen, dass sich dieses $h$ "irgendwie" rauskürzt. Zu diesem Zweck erweitern wir den Bruch so, dass wir im Zähler die dritte binomische Formel anwenden können:

$$f'(2)=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{(\overbrace{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}}^{a}-\overbrace{\sqrt{6}}^{b})\cdot\pink{(\overbrace{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}}^{a}+\overbrace{\sqrt{6}}^{b})}}{h\cdot\pink{(\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6})}}$$$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\overbrace{(2+h)+(2+h)^2}^{a^2}-\overbrace{6}^{b^2}}{h\cdot(\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6})}$$

Jetzt können wir nämlich den Zähler ohne störende Wurzeln vereinfachen:$$(2+h)+(2+h)^2-6=(2+h)+(4+4h+h^2)-6=5h+h^2=h\cdot(5+h)$$

Damit haben wir im Zähler den Faktor $h$ abgespalten und können den Bruch kürzen:$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\pink h\cdot(5+h)}{\pink h\cdot(\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6})}$$$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{5+h}{\sqrt{(2+h)+(2+h)^2}+\sqrt{6}}$$$$\phantom{f'(2)}=2\cdot\frac{5+0}{\sqrt{(2+0)+(2+0)^2}+\sqrt{6}}=2\cdot\frac{5}{\sqrt6+\sqrt6}=\frac{5}{\sqrt6}$$

Comments

Wegen der Art der Aufgabenstellung (Bestimmung der Ableitung nur an einer bestimmten Stelle $x_0$), gehe ich davon aus, dass die Ableitung mittels des Differentialquotienten bestimmt werden soll:

Der Meinung bin ich auch, auch weil es reiz-und anspruchsvoller ist, wenn auch aufwändig und wohl über Schulniveau.

Mal sehen, was der TS noch dazu sagen wird.

Von mir auf jeden Fall ein Plus für deine schöne Darstellung. Mustergültig wie immer.

:)

Answer 2

Ich setze mal $a+x^2$ unter die Wurzel (a kann eine beliebige x-freie Zahl sein):

$f(x)=2x-\sqrt{a+x^2}$  mit  $x_0=2$

$f'(x)=2-\frac{2x}{2\sqrt{a+x^2}}=2-\frac{x}{\sqrt{a+x^2}} =\frac{2\sqrt{a+x^2}-x}{\sqrt{a+x^2}}$   

$x_0=2$:

$f'(2)=\frac{2\sqrt{a+4}-2}{\sqrt{a+4}}$ 

Oder $b*x^n+x^2$ unter die Wurzel:

$f(x)=2x-\sqrt{b*x^n+x^2}$    

$f'(x)=2-\frac{b*n*x^{n-1}+2x}{2\sqrt{b*x^n+x^2}}$   

$x_0=2$:

$f'(2)=2-\frac{b*n*2^{n-1}+4}{2\sqrt{b*2^n+4}}$ 

Answer 3

Wenn ich davon ausgehe, dass jetzt keine Klammern fehlen und die Funktionsgleichung  f(x)=2$\sqrt{x}$+x² heißt, dann gilt f '(x)= $\frac{1}{\sqrt{x}}$+2x. Hier soll x₀=2 eingesetzt werden: f '(2)=4+$\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Comments

Vlt. soll ohne die Ableitungsregeln abgeleiten werden. Differentialquotient??

Das ist oft so, wenn von x0 die Rede ist.

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Das ist oft so, wenn von x0 die Rede ist.

x0 ist im Gegensatz zu x eine bestimmte Stelle. Wenn hier von der bestimmten Stelle x0 = 2 gesprochen wird, hat das schon so seine Richtigkeit.

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Regeln werden hergeleitet und nicht abgeleitet. 'Ableiten' heißt nämlich 'die Steigung an einer Stelle x bestimmen'.

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Regeln werden hergeleitet und nicht abgeleitet.

Wer hat geschrieben, dass eine Regel abgeleitet wird?

Mann kann mit oder ohne (Verwendung der) Ableitungsregeln ableiten.

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Mann kann mit oder ohne (Verwendung der) Ableitungsregeln ableiten.

Nein. Das hängt von der exakten Aufgabenstellung ab. Diese ist aber nicht bekannt.

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Ich bezog mich auf das Zitat

Regeln werden hergeleitet und nicht abgeleitet.

Grundsätzlich schreibe ich Ableiten wenn ich Ableiten mit den Ableitungsregeln meine. Ansonsten schreibe ich bilde den Differenzialquotienten an der Stelle x0. wenn ich das meine.

Answer 4

$f(x)= 2\sqrt{x+x^2}$

$f'(x)= 2\cdot(2x+1)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x+x^2}}= \dfrac{2x+1}{\sqrt{x+x^2}}$

Comments

Im Ergebnis sollte sich die 2 vor der Wurzel wohl weggekürzt haben

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@Wolfgang

Danke, ich habe den Druckfehler korrigiert.