Berechnen Sie die Gleichung der Ebene W mit der Eigenschaft, dass die kürzeste Entfernung von jedem Punkt von l zur …

Question

Aufgabe:

Es ist die Gerade l: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 6\\5\\-1 \end{pmatrix} \) + λ * \( \begin{pmatrix} 4\\1\\3 \end{pmatrix} \) und der Punkt A (2, 4, -4) auf der Geraden l gegeben. Der Abstand zwischen A und dem Ursprung O (0|0|0) ist genauso groß wie der Abstand zwischen l und O (0|0|0). Berechnen Sie die Gleichung der Ebene W mit der Eigenschaft, dass die kürzeste Entfernung von jedem Punkt von l zur Ebene W genauso groß ist wie kürzeste Entfernung zwischen der Ebene W und dem Ursprung (0|0|0). Zudem soll die Ebene W senkrecht auf der Gerade AO stehen.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Normalenvektor rausgefunden und habe die Koordinatenform der Ebene W aufgestellt, aber das d fehlt. Also habe ich die HNF aufgestellt und habe die Ausdrücke für den Abstand zu einem Punkt auf der Gerade l und zum Ursprung gleichgesetzt, weil der Abstand ja gleich sein soll, aber die Gleichung hat keine Lösung : (

Answer 1

Hallo,

es gibt zwei Möglichkeiten das zu lösen. Mit "soll die Ebene W senkrecht auf der Gerade AO stehen" ist der Normalenvektor von \(W\) bereits gegeben$$n_W=\begin{pmatrix}2\\ 4\\ -4\end{pmatrix}$$und in der HNF ist das dann$$W: \quad \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\end{pmatrix}x = d$$wenn man sich das Szenario räumlich vorstellen kann, so ist die Lösung$$W: \quad \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\end{pmatrix}x = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\ 4\\ -4\end{pmatrix} = 3$$Falls nicht, kann man das auch ausrechnen. Der Abstand eines Punktes von \(I\) zu \(W\) ist$$ \dots = nx_i - d \quad x_i \in I$$und dieser soll auch gleich \(d\) sein. Also konkret$$\begin{aligned} d &= \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix}6\\ 5\\ -1\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 3\end{pmatrix}\right) - d \\ 2d &= \frac{1}{3}(6 + 10 + 2) + \lambda \cdot \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 2d &= 6 \\ d &= 3\end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

Ich habe es Dir nochmal mit Geoknecht3D gezeichnet

Answer 2

Hallo

die Gerade muss ja wohl in der Ebene liegen, also auch der Punkt A damit hast du d

Gruß lul

Comments

Das geht nicht weil der Abstand l zu W gleich sein muss wie W zum Ursprung und wenn l in der Ebene liebt ist das nicht der Fall

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Hallo

ja ich hatte falsch gelesen, also muss die Ebene genau in der Mitte liegen zwischen l und 0 also A/2

Gruß lul

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Die Gerade kann aber auch zwischen der Ebene und dem Ursprung liegen, es gibt zwei Lösungen, deshalb kommt bei der HNF eine Betragsgleichung raus. d=+-36 (ich habe es gelöst)

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Ja, du hast recht

Gruß lul

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. d=+-36 (ich habe es gelöst)

das ist nicht richtig. Siehe meine Antwort. Es gibt nur eine Lösung. Ich habe zwar großzügig die Betragstriche weg gelassen, aber nimmt sie mit, so steht dort am Ende$$|d| = |6-d|$$und hier gibt es nur die Lösung \(d=3\) für die HNF. Nimmst Du den Vektor \(OA\) als Normalenvektor, so ist es \(d=36\)