Aloha :)
Ich gehe im Folgenden davon aus, dass ihr die Monome als \(\vec m_k\coloneqq x^k\) definiert habt.
Die Abbildungsmatrix \(L_{S\leftarrow S}\) der Abbildung \(\ell\) bezüglich der Standardbasis \(S=(\vec m_0;\vec m_1)\) oder auch \(S=(1;x)\) holen wir uns aus der Abbildungsvorschrift::$$\pink{L_{S\leftarrow S}}\binom{b}{a}_{\!\!S}=\ell(b\cdot1+a\cdot x)=\binom{2a-7b}{a-4b}_{\!\!S}\!\!=b\binom{-7}{-4}_{\!\!S}+a\binom{2}{1}_{\!\!S}=\pink{\left(\begin{array}{rr}-7 & 2\\-4 & 1\end{array}\right)}\binom{b}{a}_{\!\!S}$$
Wir wissen, wie die Basen \(B\) und \(C\) bezüglich der Standardbasis \(S\) aussehen:$$\binom{1}{0}_B=\vec b_1=x=\vec m_1=\binom{0}{1}_S$$$$\binom{0}{1}_B=\vec b_2=-2x-1=-2\vec m_1-\vec m_0=\binom{-1}{-2}_S$$$$\binom{1}{0}_C=\binom{1}{0}_S$$$$\binom{0}{1}_C=\binom{-1}{-1}_S$$
Damit kennen wir auch die Transformations-Matrizen:$$\green{T_{S\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1 & -2\end{array}\right)}\quad;\quad \blue{T_{S\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & -1\end{array}\right)}$$
Die gesuchte Darstellungsmatrix erhalten wir nun so:$$L_{C\leftarrow B}=T_{C\leftarrow S}\cdot L_{S\leftarrow S}\cdot T_{S\leftarrow B}=\left(\blue{T_{S\leftarrow C}}\right)^{-1}\cdot\pink{L_{S\leftarrow S}}\cdot \green{T_{S\leftarrow B}}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\-1 & -2\end{array}\right)$$
