Aloha :)
Eine Abbildung: \(f\colon V\to W\) über einem Körper \(\mathbb K\) heißt linear, wenn gilt:$$(1)\quad f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\text{ für }x;y\in V\quad\text{(additiv)}$$$$(2)\quad f(k\cdot x)=k\cdot f(x)\quad\text{ für }k\in\mathbb K\;;\;x\in V\quad\text{(homogen)}$$Die beiden Forderungen musst du prüfen.
zu a) \(\quad f(\vec x)=f\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_2}{x_1+x_2}\)
$$(1)\quad f(\vec x+\vec y)=f\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}=\binom{x_2+y_2}{(x_1+y_1)+(x_2+y_2)}$$$$\qquad\qquad\;\qquad=\binom{x_2+y_2}{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)}=\binom{x_1}{x_1+x_2}+\binom{y_2}{y_1+y_2}$$$$\qquad\qquad\;\qquad=f\binom{x_1}{x_2}+f\binom{y_1}{y_2}=f(\vec x)+f(\vec y)\quad\checkmark$$
$$(2)\quad f(k\cdot\vec x)=f\binom{kx_1}{kx_2}=\binom{kx_2}{kx_1+kx_2}=\binom{kx_2}{k(x_1+x_2)}$$$$\qquad\qquad\qquad\!=k\binom{x_2}{x_1+x_2}=kf\binom{x_1}{x_2}=k\cdot f(\vec x)\quad\checkmark$$
Die Abbildung ist also linear.
zu b) \(\quad f(\vec x)=f\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1\cdot x_2}{x_1+x_2}\)
$$(2)\quad f(k\cdot\vec x)=f\binom{kx_1}{kx_2}=\binom{kx_1\cdot kx_2}{kx_1+kx_2}=\binom{k\cdot kx_1x_2x_2}{k(x_1+x_2)}$$$$\qquad\qquad\qquad\!=k\binom{k\,x_1x_2}{x_1+x_2}\pink\ne k\binom{x_1x_2}{x_1+x_2}=kf\binom{x_1}{x_2}=kf(\vec x)$$Die Abbildung ist nicht homogen und daher auch nicht linear.
