Das erste Integral wurde zuerst in eine Summe aufgespaltet:
\(\int_{\mathbb R^+}\int_{\mathbb R}(q\varphi_t + f(q)\varphi_x)\,dx\,dt \)
\(= \underbrace{\int_{\mathbb R^+}\int_{\mathbb R}q\varphi_t\,dx\,dt}_{I_1} + \underbrace{\int_{\mathbb R^+}\int_{\mathbb R}f(q)\varphi_x\,dx\,dt}_{I_2}\)
Zu \(I_1\):
Hier wurde stillschweigend die Integrationsreihenfolge vertauscht. Nach diesem Vertauschen wurde das innere Integral bzgl. \(t\) partiell integriert:
\(\int_{\mathbb R^+} q\varphi_t\, dt = \left.q\varphi\right|_{\mathbb R^+} - \int_{\mathbb R^+} q_t\varphi\, dt\)
\(\stackrel{Randbedingungen}{=} (0-q(x,0)\varphi(x,0))-\int_{\mathbb R^+} q_t\varphi\, dt\)
Jetzt wird das Ergebnis dieser partiellen Integration über \(x\) integriert und nochmal die Integrationsreihenfolge vertauscht.
Zu \(I_2\):
Hier wurde nur das innere Integral bzgl. \(x\) partiell integriert:
\(\int_{\mathbb R}f(q)\varphi_x\,dx =\left. f(q)\varphi\right|_{\mathbb R} - \int_{\mathbb R} f_x(q)\varphi\, dx \)
\(\stackrel{Randbedingungen}{=} 0 -\int_{\mathbb R} f_x(q)\varphi\, dx \)
