Berechnen Sie die Lösung N(t) der Differentialgleichung.

Question

Aufgabe: Wachstum von Bakterien

Eine bestimmte Bakterienart wächst nach
\( N^{\prime}(t)=\kappa N(t), \quad N(0)=N_{0}, \)
wobei \( N(t) \) die Menge der Bakterien zum Zeitpunkt \( t \) ist, \( \kappa>0 \) die konstante Wachstumrate und \( N_{0}>0 \) die Menge der Bakterien bei \( t=0 \) ist.
a) Berechnen Sie die Lösung \( N(t) \) der Differentialgleichung. Was passiert, wenn \( t \rightarrow \infty \) ?
b) Wenn es nur Platz für \( N_{\max } \) Bakterien gibt, muss die Differentialgleichung geändert werden in
\( N^{\prime}(t)=\kappa\left(1-\frac{N(t)}{N_{\max }}\right) N(t), \quad N(0)=N_{0} . \)

Berechnen Sie jetzt die neue Lösung \( N(t) \) unter der Annahme, dass \( 0<N_{0}<N_{\max } \). Was passiert, wenn \( t \rightarrow \infty \) ?

Problem/Ansatz:

Hallo, kann jemand folgende Aufgabe 2b. Mit Substitution versucht, hat aber nicht geklappt. Warum auch immer.

Comments

mal frag, habt Ihr denn je eine Bernoulli-DGL gelöst?

Woher stammt diese Aufgabe? Uni?

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Das ist aus dem Modul " Mathe für Physiker ".

Answer 1

Also zu lösen ist

$$N'=kN-mN^2, \quad N(0)=n$$

Substitution (wir gehen von n>0 aus)::

$$N(t):=z(t)^{-1}, \quad z(0)=1/n$$

Das führt zu

$$N'=-z^{-2}z'=kz^{-1}-mz^{-2} \iff z'=-kz+m$$

Lösung ist

$$z(t)=(\frac{1}{n}-\frac{m}{k})\exp(-kt)+\frac{m}{k}$$

Nach Übergang zu N kann man dann noch etwas umformen, um Eigenschaften von N deutlicher hervorzuheben, etwa \(N(t) \to N_{max}\)

Comments

DANKE für die Antworten.

Wäre auf die Substitution glaube nicht gekommen. Es wurde gesagt wir sollten es so machen, da es einfacher ist. Ansonsten einfach ohne Substitution.

Answer 2

Hallo

was du mit Substitution willst verstehe ich nicht. was substituierst du?

im ersten Fall hast du dN/N=kdt und muss beide Seiten integrieren, im 2. Fall hast du dN/( (1−N(t)/Nmax)*N(t))=kdt  wieder beide Seiten integrieren, wenn du dabei Schwierigkeiten hast nimm Integralrechner.de

Was fehlt dann noch? lul

Comments

Frage war ob man beim 2. Fall substituiert, da wir das bisher immer so gemacht haben.

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Du sagst immer noch nicht, was du substituieren willst.

lul

Answer 3

Es handelt sich in deinem Fall um die berühmte und bekannte logistische Differentialgleichung.

Schreibe deine Gleichung als

\(N^\prime (t) = \frac{\kappa}{N_{\max}}(N_{\max} -N(t))N(t)\).

So kannst du die Lösung von der oben verlinkten Seite direkt auf deinen Fall übertragen.

Apropos Substitution:

Die vorliegende DGL kann durch Trennung der Variablen gelöst werden. Nach dieser Trennung sieht die DGL so aus:
\(\frac{N^\prime(t)}{F(N(t)) }= 1\) mit \(F(N) =\frac{\kappa}{N_{\max}}(N_{\max} -N)N \)

Nun wird diese "getrennte" Gleichung bzgl. \(t\) integriert und genau hier kommt die Substitution ins Spiel. Auf der linken Seite der Gleichung ergibt sich per Substitutionsregel

\(\int \frac{N^\prime(t)}{F(N(t)) }\, dt = \int \frac{1}{F(N) }\, dN\).

D.h., die linke Seite der getrennten Gleichung kann jetzt über \(N\) statt über \(t\) integriert werden.

Comments

Apropos Substitution: Die Dgl ist auch eine Betnoulli Dgl und kann von daher mit Substitution gelöst werden.

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"Gelöst", besser: in eine lineare Dgl umgeformt werden. Mit N= z^(-1).

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@Mathhilf
Dann schreibe noch eine weitere Antwort via Bernoulli.

Momentan können wir ja nur raten, was Bosna gemeint haben könnte.

Answer 4

Hallo,

vielleicht ist es so gemeint (ich würde das aber so nie rechnen)

Ich berechne es sonst über "Trennung der Variablen" direkt, also ohne die Substitution.

mit k ist κ (Kappa) gemeint.

usw. zum Schluss dann die Resubstitution: