Exploration linearer Abbildungen: Identifizierung spezieller Eigenschaften in C^2 und R^2

Question

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Es gibt eine lineare Abbildung \( L: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2} \) mit \( L \neq 0 \) und \( \|L\|=2 c_{L} \).
b) Es gibt lineare Abbildungen \( L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( c_{L}=0 \) und \( \|L\|=1 \).
c) Ist \( V \) ein Vektorraum über \( \mathbb{C} \), so gilt \( c_{L}=\|L\| \) für hermitesche lineare Abbildungen \( L: V \rightarrow V \).

Comments

Hallo

was ist c_L

_lul

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Text erkannt:

\( c_{L}:=\sup \{|\langle x, L x\rangle|: x \in V,\|x\| \leq 1\} \).

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Text erkannt:

Die Operatornorm \( \|L\| \) der linearen Abbildung \( L: V \rightarrow V \) wird definiert durch
\( \|L\|:=\sup \{\|L x\|: x \in V,\|x\| \leq 1\} . \)
\( L \) ist genau dann beschränkt, wenn \( \|L\|<\infty \). Außerdem setzen wir
\( c_{L}:=\sup \{|\langle x, L x\rangle|: x \in V,\|x\| \leq 1\} . \)