Beweis/Widerlegung linearer Abbildungen

Question

Beweise oder widerlege, dass die Abbildung f:ℝ₂[X]→ℝ₃[X], f(a+bX+cX²) = a + (b+c)*(X+X²) + (a-b)X³ ℝ-linear ist.

Problem/Ansatz:

Zu überprüfen ist ja, ob f(v+w) = f(v)+f(w) und f(v*w) = f(v)*f(w)

Wie macht man das wenn wie in der Aufgabe X in f(a+bX+...) steht? Ist da was besonderes zu beachten?

Answer 1

Hallo

das ist eine Abbildung von Polynomen auf Polynome.

falsch ist, dass f(v*w) = f(v)*f(w) sein soll v*w ist ja nicht einmal definiert.

a) es fehlt f(r*v)=r*f(v) r in R und f(0)=0

einfach nachrechnen mit Funktionen v mit  a1,b1c1 und  w mit a2,b2, c2

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Wenn eine Abbildungsmatrix \(F\) existiert, muss die Abbildung linear sein:$$a\cdot1+b\cdot x+c\cdot x^2\mapsto a\cdot1+(b+c)\cdot x+(b+c)\cdot x^2+(a-b)\cdot x^3$$

Bezüglich der Standardbasen für Polynome \((1,x,x^2,x^3,\ldots)\) können wir diese Abbildungsvorschrift mit Vektoren ausdrücken:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}a\\b+c\\b+c\\a-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot a+\begin{pmatrix}0\\1\\1\\-1\end{pmatrix}\cdot b+\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot c=\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & -1 & 0\end{array}\right)}_{=F}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$