Surjektivität linearer Abbildungen

Question

Beweise oder widerlege:

Es sei K ein Körper und φ : K² → K eine lineare Abbildung, die nicht die Nullab-
bildung ist. Dann ist φ surjektiv auf K.

Reicht es da ein Beispiel zu geben, um das zu widerlegen?

z.b mit K = ℕ₀ und φ(a,b) = a+b+1, was dann nicht die 0 abbilden kann?

Comments

\((\mathbb N_0;+;\cdot)\) ist kein Körper.

---

stimmt, da war ja was, danke

Answer 1

Da f (schreibe ist statt phi) nicht die Nullabbildung ist. existier ein \(x \in K^2\) mit \(f(x)=s \neq 0\).

Sei jetzt \(t \in K\) (beliebig); dann besitzt t ein Urbild:

$$f(\frac{t}{s}x)=\frac{t}{s}f(x)=t$$