Bestimme die Determinante von A

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei
\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich brauche eine Komplette Aufgabenlösung hierzu. Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei den Folgenden Aufgaben behilflich sein könnte.

1) Bestimme die Determinante von A

2) Was lässt mit dem Ergebnis aus Teil 1 über die Anzahl der Lösungen des LGS Ax = b für einen Vektor b∈ℝ³ aussagen?

3) Zeige, dass das LGS Ax = b mit b = (2,1,2)^T  keine Lösungen hat.

4) Bestimme eine Basis B von A

5) Benutze das Gram-Schmidt-Verfahren um aus der Basis B eine Orthonormalbasis C zu machen.

6) Bestimme die orthogonale Projektion von b auf LH(C)

7) Bestimme mit dem Ergebnis von 6 ein v∈ℝ³ so dass //Av - b// kleinstmögliche ist

8) Bestimme die QR-Zerlegung der Matrix A

9) Bestimme mit dem Ergebnis aus 8) erneut v∈ℝ³ so dass //Av-b// kleinstmögliche ist.

Ich bedanke mich schon mal im voraus.

Comments

Ich brauche eine Komplette Aufgabenlösung hierzu. Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei den Folgenden Aufgaben behilflich sein könnte.

1) Bestimme die Determinante von A

Soso, eine komplette.

Heißt: Du kannst noch nicht einmal die Determinante einer 3X3-Matrix berechnen?

Da sind die aber absolut fies, wenn die euch solche Aufgaben stellen, ohne wenigstens ein paar grundlegende Dinge/ Formeln vermittelt zu haben.

---

Die Determinante habe ich tatsächlich ausrechnen können mittlerweile und dies auch verstanden.

Vielleicht ist einfach mein Grundverständnis hierfür nicht vorhanden.

Answer 1

1)

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

DET([1, 1, 2; 1, 3, 2; 1, 2, 2]) = 1·3·2 + 1·2·1 + 2·1·2 - 1·3·2 - 2·2·1 - 2·1·1 = 0

2)

Wenn die Determinante Null ist, kann es nicht genau eine Lösung geben. Es gibt dann entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Comments

Zur Bestimmung der Determinante muss man nicht viel rechnen. Offenbar ergibt das doppelte der ersten Spalte die dritte. Damit ist det(A) = 0.

---

Zur Bestimmung der Determinante muss man nicht viel rechnen. Offenbar ergibt das doppelte der ersten Spalte die dritte. Damit ist det(A) = 0.

Das ist natürlich richtig. Nur wenn dem Fragesteller nicht mal der Standard-Weg über die Determinante einfällt, dann sollte man den zuerst lernen, weil das immer geht. Dass man die lineare Abhängigkeit sehen kann, ist ja nicht immer gleich möglich bzw. eher in den seltenen Fällen.

Also zuerst mal das Standard-Verfahren lernen und dann die Sonderfälle.

Answer 2

Du findest unter

https://www.geogebra.org/m/fbtkawqu

eine ähnlich gelagerte Aufgabe, die sich leicht an Deine Aufgabenstellung anpassen lässt. Es sind noch weitere Lösungsansätze außer orthogonale Projektion/QR-Zerlegung vertreten.

Würde sich darstellen als b=u