Zeigen, dass Reihe konvergiert

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( \sum \limits_{n \in \mathbb{N} \cup\{0\}} z^{n} \) und \( \sum \limits_{n \in \mathbb{N} \cup\{0\}}(n+1) z^{n} \) für jedes \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|<1 \) unbedingt konvergieren. Zeigen Sie auch, dass dabei

\( \sum \limits_{n \in \mathbb{N}\cup\{0\}}(n+1) z^{n}=(1-z)^{-2} . \)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand vielleicht erklären wie ich diese Aufagbe löse bzw. den Rechenweg geben? Ich muss eine Reihe von solchen Aufgaben machen und verstehe das Prinzip nicht ganz

Answer 1

In \(\mathbb{C}\) ist unbedingt konvergent äquivalent zu absolut konvergent. Man kann also in den Reihen das \(n\in \N\cup \{0\}\) ersetzen durch \(n=0...\infty\).

Potenzreihen sind in ihrem Konvergenzbereich absolut konvergent. Damit sind wir im normalen Fahrwasser der konvergenten Reihen angelangt.

Die erste Reihe ist eine geometrische Reihe, womit Konvergenzbereich und Grenzfunktion klar sein sollten.

Potenzreihen kann man in ihrem Konvergenzbereich differenzieren und der Konvergenzbereich bleibt erhalten. Differenziere die erste Reihe und vergleiche mit der zweiten. Auch an Indexverschiebung denken. Wenn Du bei der Rechnung hängen bleibst, melde Dich.

Comments

Also die ersten zwei konnte ich lösen danke! Bei der dritten hänge ich.. kannst du mir da vielleicht helfen?

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Außerdem haben wir in der Uni noch kein Differenzieren gelernt..

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Differenzieren heißt Ableiten, das habt ihr bestimmt schon gemacht.

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noch kein Differenzieren gelernt

Dann ohne :
\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)·z^n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(\sum\limits_{m=0}^{n}1){z^n} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\sum\limits_{m=0}^{n}{z^n}) =\sum\limits_{m=0}^{\infty}(\sum\limits_{n=m}^{\infty}{z^n})\)
\(=\sum\limits_{m=0}^{\infty}(z^m·\sum\limits_{n=m}^{\infty}{z^{n-m}})=\sum\limits_{m=0}^{\infty}(z^m·\sum\limits_{n=0}^{\infty}{z^{n}})=\sum\limits_{m=0}^{\infty}z^m·\sum\limits_{n=0}^{\infty}{z^{n}}\)

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Das weiß ich schon, wir haben es trotzdem nicht gemacht

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Kannst du mir das für das 3. auch noch erklären?

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Was habt Ihr nicht gemacht? Ihr habt noch keine Ableitungsregeln? Insb. nicht für Potenzreihen?

Ich erkläre Dir das gerne, aber dazu muss ich wissen, was an Vorkenntnissen, auch aus der Vorlesung zum Thema Potenzreihen, vorhanden ist.

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Wir haben nur das ableiten noch nicht gemacht.. Reihen schom

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Normalerweise sollte in der Vorlesung der schon oben erwähnte Satz stehen: "Potenzreihen kann man in ihrem Konvergenzbereich differenzieren und der Konvergenzbereich bleibt erhalten."

Wenn der da nicht steht, muss es ohne Ableiten gehen und dann hab ich auch nichts besseres anzubieten als Gast hj2166. Bin aber relativ sicher, dass das nicht vom Aufgabensteller so gemeint ist.

Hast Du denn die Konvergenz von \(\sum (n+1)z^n\) und den Konvergenzbereich schon nachgewiesen?

Answer 2

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{z^n} \)  ist eine geometrische Reihe, die für |z|<1 selbstverständlich konvergiert.