> Warum steht ||f||∞ in zwei Betragsstrichen
Weil der Autor das für eine passende Kennzeichnung hält. Der Autor hätte auch ein Herzchen um das f malen können, es würde keinen wirklichen Unterschied machen.
Das Zeichen := bedeutet "wird definiert als". Damit bekommt ein Sachverhalt (nämlich sup({|f(x)| : x ∈ D})) eine neue Bezeichnung (in diesem Fall ||f||∞). Diese neue Bezeichnung ist erst ein mal willkürlich gewählt.
Der Autor hat sich vermutlich deshalb für ||f||∞ und gegen das Herzchen entschieden, weil es sich bei dem Sachverhalt um die Supremumsnorm handelt und ||f||∞ die allgemein übliche Kennzeichnung für die Supremumsnorm ist.
> Zeigen Sie, dass fn genau dann gleichmäßig gegen f konvergiert,
> wenn limn→∞ ||f−fn||∞ = 0.
limn→∞ ||f−fn||∞ = 0 ist laut wikipedia://Gleichmäßige Konvergenz die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Damit ist Teil (a) bewiesen. Es sei denn, ihr habt eine andere Definition der gleichmäßigen Konvergenz zugrunde gelegt.