Aufgabe:
Betrachtet wird die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0) \end{array}\right. $$
Zeigen Sie, dass für jede Gerade \( G:=\left\{\lambda\left(x_{0}, y_{0}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\} \) mit \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \neq(0,0) \) die Funktion \( \left.f\right|_{G} \) stetig ist.
Problem/Ansatz:
Wir haben noch folgenden Tipp von unserem Prof bekommen:
Wir sollten zuerst zeigen dass eine Folge \( \left(\lambda_{n}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) genau dann in \( \mathbb{R}^{2} \) konvergiert, wenn \( \left(\lambda_{n}\right) \) in \( \mathbb{R} \) konvergiert.
Also ich habe jetzt schonmal die Unstetigkeit von f in (0,0) ohne die Einschräkung bewiesen. Aber ich verstehe nicht so recht, was die Einschränkung da macht, die ändert doch nur den Definitionsbereich, sonst passiert da doch nicht so viel?
Zu dem Hinweis:
\( \left(\lambda_{n}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) soll doch eine Gerade sein, aber die einzige Gerade die konvergiert wäre ja eine Konstante. Warum soll ich das dann nochmal extra allgemein zeigen? Also was bringt mir dieser Tipp?
