Beweis der Stetigkeit mit Folgenkriterium

Question

Ich soll für die Funktion f(x) = sin(x) / x definiert auf R/{0} beweisen, dass sie auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.

Also ich habe des mit dem Folgekriterium versucht, bin mir aber nicht sicher ob ich dass so machen darf:

Sei a Element aus R/{0}

Sei x_n beliebige Folge mit lim (n gegen Unendlich) x_n = a

Dann ist lim (n gegen Unendlich) f(x_n)=limes ( n gegen Unendlich) sin (x_n)/x_n = sin(a)/a = f(a)

Und damit auf ganz R/{0} stetig?

Stimmt das so? Und gibt es auch eine Lösung mit dem epsilon delta Kriterium, weil ich habe das probiert, bin aber nicht wirklich weiter gekommen?

Vielen Dank für Hilfe im Voraus!

Comments

Dann ist lim (n gegen Unendlich) f(x_n)=limes ( n gegen Unendlich) sin (x_n)/x_n = sin(a)/a = f(a)

Kann jeder so hinschreiben und behaupten, dass es stimmt. Es fehlt eine Begruendung, warum so gerechnet werden darf.

Answer 1

Dann ist lim (n gegen Unendlich) f(x_n)=limes ( n gegen Unendlich) sin (x_n)/x_n = sin(a)/a = f(a).

Das ist ja deine Kernaussage. Und die musst du noch begründen, etwa so.

weilö sin überall stetig ist, ist limes ( n gegen Unendlich) sin (x_n)= sin(a)

und weil id überall stetig ist, ist  limes ( n gegen Unendlich) x_n= a

und weil a ≠ 0 kann man den Grenzwertsatz für Quotienten anwenden und hat

limes ( n gegen Unendlich) sin (x_n)/x_n

= limes ( n gegen Unendlich) sin (x_n)    /     limes ( n gegen Unendlich) x_n

=  sin(a)/a = f(a).

Vielleicht habt ihr ja auch schon einen Satz über den Quotienten

stetiger Funktionen bewiesen, dann nimm besser den.

Answer 2

Habt ihr gezeigt, dass g(x) = sin(x) und h(x) = x stetig sind?

Und habt ihr weiter gezeigt, dass der Quotient von stetigen Funktionen f(x) = g(x) / h(x) überall stetig ist, wo h(x) ≠ 0 ?

Dann hast du automatisch f(x) ist stetig in R \ { 0} .

Das Folgenkriterium und/ oder einen Grenzwert brauchst du nur, wenn du sich dafür interessierst, ob die Definitionslücke von f stetig hebbar ist. Das ist aber in der obigen Frage nicht gefragt.