Konvergenz und Stetigkeit im R^2 (+Begründung)

Question

Aufgabe:

Konvergenz und Stetigkeit im R^2

Problem/Ansatz:

Hi !

Bräuchte einmal Hilfe bei folgender Analysis Aufgabe :)

Text erkannt:

Sei \( D:=\mathbb{R}^{2} \backslash\{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}, x \neq 0\} \) und \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ f(x, y):=\left\{\begin{array}{cl} x^{2}+y^{2} & \text { falls } y>0 \\ -x^{2}-y^{2} & \text { falls } y<0 \\ 0 & \text { falls }(x, y)=(0,0) \end{array}\right. $$
Ist \( f \) in jedem Punkt \( (x, y) \in D \) stetig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Für jeden Punkt P mit y>0 gibt es eine ganze Umgebung, in der nur Punkte

mit y>0 liegen, also gilt dort f(x,y)=x^2 + y^2 also f stetig in P als ganzrationale Funktion.

Für y<0 entsprechend.

Für y=0 gehört nur der Punkt Q(0;0) zum Definitionsbereich. Sei also nun ε>0.

Gibt es ein δ>0 so dass für alle Punkte W(x,y) des Definitionsbereiches gilt

| W | < δ  ==>  |  f(W)-f(Q) | < ε   ?

Dazu untersuche    | f(W)-f(Q) | =  | f(W) - 0  | = | f(W) | = x^2 + y^2 = | W | ^2

Also ist das erfüllt für δ=√ε .

Comments

Danke erstmal für deine Mühe!

Eine Frage hätte ich noch, ich verstehe irgendwie nicht so ganz wie das Ergebnis zu interpretieren ist also das für δ=\( \sqrt{ε} \)

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Damit hast du das gesuchte δ, denn

|W| < δ ==>  |W| < √ε

            ==>  |W|^2 <ε

Und wie oben gezeigt ist, ist ja |W|^2 =   | f(W)-f(Q) |.

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Achso jetzt habe ich es verstanden, danke!