Stetigkeit von Funktionen mit Signum und Betrag mit Begründung

Question

Aufgabe:

Sind die folgenden Funktionen stetig? Begründen Sie Ihre Antwort.

a) \( g: R \rightarrow R, \quad z \mapsto g(z)=2 z+2 z^{4}+2|z| \)
b) \( f: R \rightarrow R, \quad x \mapsto f(x)=\operatorname{sign}(x)=\left\{\begin{aligned}-1 &: x<0 \\ 0 &: x=0 \\+1 &: x>0 \end{aligned}\right. \)

Lösungsvorschlag zu a):
Die Funktion ist stetig. D=R, aber ich bin mir nicht sicher und benötige deshalb Unterstützung. Außerdem wie kann man es begründen?

Lösungsvorschlag zu b):
Die Signumfunktion habe ich als Skizze hochgeladen. Man kann erkennen, dass die Funktion bei x₀=0 unstetig ist.


Sei \( x_{n}=\frac{1}{n} \) und \( y_{n}=-\frac{1}{n} . \) Dann gilt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \operatorname{sign}\left(x_{n}\right)=\lim \limits_{n \mapsto \infty} \operatorname{sign}\left(\frac{1}{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1=1 \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \operatorname{sign}\left(y_{n}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \operatorname{sign}\left(-\frac{1}{n}\right)=\lim \limits_{n \mapsto \infty}(-1)=-1 \)

Comments

Bei b) hast du mit deiner Rechnung gezeigt, dass die Funktion in x=0 eine Unstetigkeitsstelle hat.

Answer 1

a) Die Betragsfunktion ist stetig auf R. Ebenso sind Potenzfunktionen stetig auf R.

Summen von stetigen Funktionen sind wieder stetig.

Daher: Die vorliegende Funktion in stetig auf R.

Wenn du Teile dieser Argumentation noch beweisen willst, kannst du ähnlich wie bei b) mit 1/n oder Epsilon nachrechnen.