Zeige dass Folge konvergiert mit Funktion f(x)

Question

Ich habe folgende Aufgabe vor mir:

Seien im folgenden f : D → R eine Funktion und f_n : D → R eine Funktionenfolge, wobei ∅ ≠ D ⊂ R.

 (a) Wir definieren für eine reelle Funktion || f ||_∞ := sup({|f(x)| : x ∈ D}) ∈ R_≥0 ∪ {∞}. Zeigen Sie, dass f_n genau dann gleichmäßig gegen f konvergiert, wenn lim_n→∞ ||f−fn||_∞ = 0.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass f_n : [c, ∞) → R, x ↦ (n²x)/(1 + n²x) für alle c ∈ R_>0 gleichmäßig konvergent ist. Gilt dies auch für c = 0? 

Ich verstehe diese Aufgabe nicht mal im Ansatz. Warum steht ||f||_∞ in zwei Betragsstrichen und wie gehe ich vor?

Answer 1

> Warum steht ||f||_∞ in zwei Betragsstrichen

Weil der Autor das für eine passende Kennzeichnung hält. Der Autor hätte auch ein Herzchen um das f malen können, es würde keinen wirklichen Unterschied machen.

Das Zeichen := bedeutet "wird definiert als". Damit bekommt ein Sachverhalt (nämlich sup({|f(x)| : x ∈ D})) eine neue Bezeichnung (in diesem Fall ||f||_∞). Diese neue Bezeichnung ist erst ein mal willkürlich gewählt.

Der Autor hat sich vermutlich deshalb für ||f||_∞ und gegen das Herzchen entschieden, weil es sich bei dem Sachverhalt um die Supremumsnorm handelt und ||f||_∞ die allgemein übliche Kennzeichnung für die Supremumsnorm ist.

> Zeigen Sie, dass f_n genau dann gleichmäßig gegen f konvergiert,
> wenn lim_n→∞ ||f−fn||_∞ = 0.

lim_n→∞ ||f−fn||_∞ = 0 ist laut wikipedia://Gleichmäßige Konvergenz die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Damit ist Teil (a) bewiesen. Es sei denn, ihr habt eine andere Definition der gleichmäßigen Konvergenz zugrunde gelegt.

Comments

Mir ging es darum dass mir der Sinn hinter doppelten Betragsstrichen fehlt. Bei einem Paar ist es klar, aber wozu zwei.

 Wir hatten die Defintion:

∀ε>0 ∃ n₀ ∈ℕ ∀ x ∈ D: |x-a|<δ⇒ |f(x)-f(a)|<ε

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> wozu zwei.

Warum hast du dir hier den Namen "gastek" ausgesucht? Wenn du dir einen anderen Namen ausgesucht hättest, dann wärest du doch immer noch der selbe Mensch.

Genau so geht es der Supremumsnorm. Die Supremumsnorm ist die Supremumsnorm ist die Supremumsnorm, egal wie sie notiert wird. Und ||f||_∞ ist nun mal die allgemein übliche Art, die Supremumsnorm zu notieren.

> ∀ε>0 ∃ n₀ ∈ℕ ∀ x ∈ D: |x-a|<δ⇒ |f(x)-f(a)|<ε

Da stimmt etwas nicht. Es wird die Existenz eines n₀∈ℕ gefordert, aber das n₀ wird nachher gar nicht verwendet.