Für welche x∈R konvergiert die Potenzreihe ∑ n * 8^n *(x+1)^{3n}

Question

kann mir jemand erklären, wie ich folgende Aufgabe lösen kann? ∑

b) Für welche x∈R konvergiert die Potenzreihe 

Bin für jede hilfe sehr dankbar!

Comments

Die Frage aus Teil a) gab's heute schon zwei Mal. Man fragt sich, ob Du k₁ und k₂ wenigstens schon mal ausgerechnet hast. Hast Du?

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EDIT: a) habe ich oben entfernt: Wende dich an: https://www.mathelounge.de/450529/stetigkeit-einer-funktion-2%E2%86%92%E2%84%9D-f-0-0-0-f-x-y-x-2-y-2-x-4-y-4-falls-x-y-%E2%89%A0-0 

Da stand: 

a) Ich habe eine funktion f : R² -> R mit

 

(ich weiß mit dem Formeleditor nicht, wie man obige Gleichung darstellt, sonst würde ichs natürlich machen :))

Ich soll nun schauen, ob die beiden Funktionen k₁(x) = f(x,0) und k₂(y) = f(0,y) stetig sind. Kann mir jemand erklären, wie das funktioniert(gerne auch mit Lösungweg.) Außerdem soll ich alle Punkte bestimmen, in denen die funktion f stetig bzw. nicht stetig ist.

Answer 1

Erst mal den Konvergenzradius bestimmen nach der Substitution z = (x+1)³ .

Das wäre

| a_n / a_n+1 | =  ( n*8ⁿ) / ( (n+1)*8ⁿ⁺¹)  =   n/(n+1) * 1/8

Das geht für n gegen unendlich gegen 1/8.

Also r= 1/8 und damit muss x+1 zwischen -1/2 und 1/2 liegen,

also konvergiert die Reihe schon mal für -3/2 < x < -1/2 .

Nun noch die Randpunkte anschauen:

Bei -3/2 hast du die Reihe

∑ n*8ⁿ * (-1/2)³ⁿ= ∑ n*8ⁿ * (-1/8)ⁿ = ∑ n*(-1)ⁿ  konvergiert also nicht.

Bei  -2/2 hast du die Reihe

∑ n*8ⁿ * (1/2)³ⁿ=

∑ n also auch nicht .