binomische Formel, Ergebnis falsch

Question

Aufgabe:

a) \( \sum \limits_{i=0}^{2} \sum \limits_{j=0}^{2}(i+2 j)^{2} \)
b) \( \sum \limits_{i=0}^{2} \sum \limits_{j=0}^{i}(i+2 j)^{2} \)

Text erkannt:

a) \( \sum \limits_{i=0}^{2} \sum \limits_{j=0}^{2}(i+2 j)^{2} \)
b) \( \sum \limits_{i=0}^{2} \sum \limits_{j=0}^{i}(i+2 j)^{2} \)

Problem/Ansatz:

… Ich hadere mit den Klammern. Mein Problem bezieht sich eher weniger auf die Doppelsumme, als mehr auf die Klammern, und zwar weiß ich, das wir bei der a) erst einmal i einsetzen müssen. Aber ich komme nicht zu der richtigen Lösung beim vereinfachen. Ich rechne zu aller erst alle Zahlen hoch 2, dann müssten wir ja bei einsetzen der 0 als Ergebnis 0 bekommen. In den Lösungen für die a) steht 111 aber als Ergebnis. Ich habe aber folgende Rechnung gehabt (0+1+2+)+(1+5+16)+(0+18+5)=48

Answer 1

Aloha :)$$S_1=\sum\limits_{i=0}^2\sum\limits_{j=0}^2(i+2j)^2=\overbrace{\sum\limits_{j=0}^2(0+2j)^2}^{i=0}+\overbrace{\sum\limits_{j=0}^2(1+2j)^2}^{i=1}+\overbrace{\sum\limits_{j=0}^2(2+2j)^2}^{i=2}$$$$\phantom{S_2}=(0^2+2^2+4^2)+\left(1^2+3^2+5^2\right)+\left(2^2+4^2+6^2\right)=111$$

$$S_2=\sum\limits_{i=0}^2\sum\limits_{j=0}^i(i+2j)^2=\overbrace{\sum\limits_{j=0}^0(0+2j)^2}^{i=0}+\overbrace{\sum\limits_{j=0}^1(1+2j)^2}^{i=1}+\overbrace{\sum\limits_{j=0}^2(2+2j)^2}^{i=2}$$$$\phantom{S_2}=0+\left(1^2+3^2\right)+\left(2^2+4^2+6^2\right)=66$$

Answer 2

a)

$$(0 + 2 \cdot 0)^2 + (0 + 2 \cdot 1)^2 + (0 + 2 \cdot 2)^2 + \newline (1 + 2 \cdot 0)^2 + (1 + 2 \cdot 1)^2 + (1 + 2 \cdot 2)^2 + \newline (2 + 2 \cdot 0)^2 + (2 + 2 \cdot 1)^2 + (2 + 2 \cdot 2)^2 = 111$$

b)

$$(0 + 2 \cdot 0)^2 + (1 + 2 \cdot 0)^2 + (1 + 2 \cdot 1)^2 + \newline (2 + 2 \cdot 0)^2 + (2 + 2 \cdot 1)^2 + (2 + 2 \cdot 2)^2 = 66$$

Answer 3

Ich rechne zu aller erst alle Zahlen hoch 2

Wenn man sich nicht an Regeln hält, kann man auch nicht das richtige herausbekommen. Es gilt Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich. Du musst also erst die Klammer ausrechnen und dann quadrierst du, denn es wird die komplette Klammer quadriert: \((1+2+3)^2 \) ist etwas anderes als \(1^2+2^2+3^2\) und allgemein gilt \((a+b)^2\neq a^2+b^2\).

Comments

Danke! Also handelt es sich hier gar nicht um binomische Formeln?

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Natürlich könntest du (i + 2·j)^2 mit der binomischen Formel ausmultiplizieren. Dabei gilt

(i + 2·j)^2 = i^2 + 4·i·j + 4·j^2

Das brauchst du doch aber nicht machen, da du für i und j ja einfach die Zahlen aus der Summe einsetzen kannst und dann ausrechnen kannst

Wer würde denn

(0 + 2·0)^2 = 0^2 = 0

zuerst mittels der binomischen Formeln ausmultiplizieren?