Wie kommt man auf diese Formel(Summenzeichen)?

Question

Wie kommt man von $$\frac{\sqrt{3}}{4}*a^{2}+\sum \limits_{n=0}^{n-1}(4i * 3*(\frac{1}{9})^{i+1} *\frac{\sqrt{3}}{4})*a^{2}$$ auf

$$(1+\frac{1}{3}\sum \limits_{n=0}^{n-1}(\frac{4}{9})^{i})*\frac{\sqrt{3}}{4}$$

Problem/Ansatz:

Kann den Schritt/Übergang zu der anderen Formel nicht ganz nachvollziehen.

Könnt ihr mir bitte dabei helfen?

Comments

Muss es nicht i=0 heißen?

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Ja, hab mich da leider vertippt.

Danke für den Hinweis :)

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Könnte es sein, dass es noch mehr Tippfehler gibt? Etwa \(4^i\) statt \(4i\)? Was ist im Ergebnis mit dem \(a^2\)?

Gruß

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4i*3*(1/9)^(n+1) = 4i*3*(1/9)^n*1/9 = 1/3*(4/9)^i

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Stimmt, sry....

Am Ende muss auch noch a^2 stehen (bei der unteren).

Und es muss 4^i und nicht 4i heißen

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Außerdem fehlt im umgeformten Term das a².

Answer 1

Hallo

ersten wurde der Faktor √3/4*a^2 ausgeklammert, dann noch 1/3 von 3*1/9 aus der Summe gezogen,

Gruß lul

Comments

Wieso muss man das mit 1/3 kürzen ... Kann den Schritt nicht so nachvollziehen.

Answer 2

Faktoren in der Summe, welche die Laufvariable nicht enthalten, dürfen vor die Summe gezogen werden. Dann kann man \( \frac{√3}{4} \)·a² ausklammern. Außerdem ist 4ⁱ·3·(\( \frac{1}{9} \))ⁱ⁺¹=\( \frac{4^{i}·3}{9·9^{i}} \). Kürzen und 1/3 vor die Summe ziehen.

Comments

Aber ergibt (4ⁱ *4)/(9*9ⁱ) nicht 12ⁱ/81ⁱ = 4/27  und nicht (4/27)ⁱ ?

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Woher kommt jetzt (4ⁱ *4)/(9*9ⁱ)? Ich schrieb \( \frac{4^{i}·3}{9·9^{i}} \). Da wird die 3 im Zähler gegen die 9 im Nenner gekürzt und sonst bleibt ein Bruch aus zwei Potenzen mit gleichen Exponenten.

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(4ⁱ *3)/ (9*9ⁱ) = (12ⁱ)/(81ⁱ) = (12/81)ⁱ

So?

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Nein. so \( \frac{1}{3} \)·(\( \frac{4}{9} \))ⁱ.

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Das war ja eine Mega-Prozedur mit diversen Extra-Schleifen .....